福建省泉州市2020届高三数学（文）5月份质检（二模）试题（Word版附解析）
福建省泉州市2020届高三数学（文）5月份质检（二模）试题（Word版附解析）,高三数学5月二模试题,福建,泉州市,莲山课件.
2019-2020学年度河北名优校联考
数学（理科）
注意事项：
1.本试卷共4页，三个大题，满分150分，考试时间120分钟.
2.本试卷上不要答题，请按答题纸上注意事项的要求直接把答案填写在答题纸上答在试卷上的答案无效.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.己知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出集合A，B，由此能求出 .
【详解】由 变形，得 ，解得 或 ，
∴ 或 .
又∵ ，
∴ .
故选：C.
【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
2.己知复数 在复平面内对应的值点在第四象限，则 （ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据已知求出 ，再逐步求 得解.
【详解】由题意可得 解得 .
又∵ ，∴ ，∴ ，
∴ .
故选：
【点睛】本题主要考查复数的几何意义，考查复数的除法运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
3.“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号，如图是折扇的示意图， 为 的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用扇形的面积计算公式即可得出.
【详解】设扇形的圆心角为 ，大扇形的半径长为 ，小扇形的半径长为 ，
则 ， ， .
根据几何概型，可得此点取自扇面（扇环）部分的概率为
.
故选：D.
【点睛】本题考查了扇形的面积计算公式、几何概率计算公式考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
4.设 , , ,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用“ 分段法”比较出三者的大小关系.
【详解】 ， ， ，所以 .
故选：A
【点睛】本小题主要考查对数式、指数式比较大小，属于基础题.
5.若两个非零向量 ， 满足 ，且 ，则 与 夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，设 与 的夹角为 .由 ，可得 ，再将 两边同时平方，将 代入，变形可得 的值，即可得答案.
【详解】设 与 的夹角为 .
∵ ，
∴ ，
∴ .①
∵ ，
∴ ②
由①②，解得 .
故选：D.
【点睛】本题考查向量数量积的计算，属于基础题.
6.函数 在 的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性和特殊值可判断.
【详解】解：因为 ，所以 为奇函数，关于原点对称，故排除 ，又因为 ， ， ， ，故排除 、 ,
故选：D.
【点睛】本题考查函数图象的识别，根据函数的性质以及特殊值法灵活判断，属于基础题.
7.在如图算法框图中，若 ，程序运行的结果 为二项式 的展开式中 的系数的 倍，那么判断框中应填入的关于 的判断条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二项式（2+x）5展开式的通项公式，求出x3的系数，模拟程序的运行，可得判断框内的条件．
【详解】∵二项式 展开式的通项公式是 ,
令 ，
，
，
∴程序运行的结果S为120，
模拟程序的运行，由题意可得
k=6，S=1
不满足判断框内的条件，执行循环体，S=6，k=5
不满足判断框内的条件，执行循环体，S=30，k=4
不满足判断框内的条件，执行循环体，S=120，k=3
此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为120．
故判断框中应填入的关于k的判断条件是k＜4？
故选：C
【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于中档题．
8.为了解学生课外使用手机的情况，某学校收集了本校500名学生2019年12月课余使用手机的总时间（单位：小时）的情况.从中随机抽取了50名学生，将数据进行整理，得到如图所示的频率分布直方图.已知这50名学生中，恰有3名女生课余使用手机的总时间在 ，现在从课余使用手机总时间在 的样本对应的学生中随机抽取3名，则至少抽到2名女生的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出课余使用手机总时间在 的学生共有8名，再利用古典概型的概率求至少抽到2名女生的概率.
【详解】∵这50名学生中，恰有3名女生的课余使用手机总时间在 ，课余使用手机总时间在 的学生共有 （名），
∴从课余使用手机总时间在 的学生中随机抽取3人，基本事件总数 ，
至少抽到2名女生包含的基本事件个数 ，
则至少抽到1名女生的概率为 .
故选：
【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，考查频率分布直方图的计算，考查组合的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
9.在等差数列 中， 为其前 项和.若 ，且 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先证明数列 是以 为首项以 为公差的等差数列，再求出 的值，再利用等差数列的通项即可求出 的值.
【详解】∵ 是等差数列， 为其前 项和，设公差为 ，
∴ ，∴ ，
所以数列 是以 为首项以 为公差的等差数列，
则 ，
解得 .
又∵ ，
∴ ，
∴ .
故选：
【点睛】本题主要考查等差数列 通项和前 项和的应用，考查等差数列通项的基本量的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
10.己知 为坐标原点， 是椭圆 ： 的左焦点， ， 分别椭圆 在左、右顶点， 为椭圆 上一点，且 轴，过点 的直线 与 交于点 ，与 轴交于点 .若直线 经过 的中点，则椭圆 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
如图，设 中点为 ， .根据 求出 ，再根据 得到 ，化简即得椭圆 的离心率.
【详解】如图，设 的中点为 ， .
∵ 轴，∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ .
又∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，则 .
故选：
【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质，考查椭圆的离心率的计算，考查平行线的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
11.己知正三棱锥 的侧棱长为 ，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的体积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
如图，过点 作 平面 于点 ，记球心为 ，三棱锥的外接球的半径为 ，求出 ， ， .解方程 即得 和该正三棱锥外接球的体积.
【详解】如图，过点 作 平面 于点 ，记球心为 .
∵在正三棱锥 中，底面边长为6，侧棱长为 ，
∴ ，
∴ .
∵球心 到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接半径长 ，
∴ ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
∴该正三棱锥外接球的体积 .
故选：
【点睛】本题主要考查正三棱锥的几何量的计算，考查几何体外接球的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象计算能力.
12.己知函数 的定义域是 ，对任意的 ，有 .当 时， .给出下列四个关于函数 的命题：
①函数 是奇函数；
②函数 是周期函数；
③函数 的全部零点为 ， ；
④当算 时，函数 的图象与函数 的图象有且只有4个公共点.
其中，真命题的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
由周期函数的定义得到②正确； ，可以得到函数 不是奇函数，故①错误； ，又 是周期为2的函数，可得③正确；求出 的根即可判断④错误，从而得解.
【详解】∵对任意的 ，有 ，∴对任意的 ， ，
∴ 是周期为2的函数，
∴ ，
又∵当 时， ，∴ ，∴函数 不是奇函数，故①错误，②正确.
当 时， ，∴ ，又∵ 是周期为2的函数，∴函数 的全部零点为 ， ，故③正确.
∵当 时， ，令 ，解得 （舍）或 ；
当 时， ，令 ，则 ，解得 或 （舍）；
当 时， ，令 ，则 ，解得 或 （舍），
∴共有3个公共点，故④错误.
因此真命题的个数为2个.
故选：
【点睛】本题主要考查函数性质的综合运用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.若实数 ， 满足 则 的最大值为________.
【答案】10
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.
【详解】根据题意画出可行域，如图所示：
由图可知目标函数经过点 时， 取得最大值10
故答案为：10.
【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.
14.已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，则 ______
【答案】
【解析】
【分析】
对题目所给等式进行赋值，由此求得 的表达式，判断出数列 是等比数列，由此求得 的值.
【详解】解： ，可得 时， ，
时， ，又 ，
两式相减可得 ，即 ，上式对 也成立，可得数列 是首项为1，公比为 的等比数列，可得 ．
【点睛】本小题主要考查已知 求 ，考查等比数列前 项和公式，属于中档题.
15.设函数 ，若 为奇函数，则过点 且与曲线 相切的直线方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数是奇函数，构造 求出 值.再另设切点，求出切线方程，将 代入切线方程，即可求出切点横坐标，切线方程可求.
【详解】∵函数 为奇函数，
∴ ，
∴ .解得 ，
∴ ，
∴ .
设切点为 ，则 .
设切线方程为 .
∵ ，
∴ .
∵该直线过点 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ， ，
∴所求直线方程为 ，
即 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用以及导数的几何意义，属于中档题.
16.已知双曲线 ： 的右顶点为 ，以点 为圆心， 为半径作圆，且圆 与双曲线 的一条渐近线交于 ， 两点，若 （ 为坐标原点），则双曲线 的标准方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】
如图，不妨设圆 与双曲线的一条渐近线 ，交于 ， 两点，过点 作 垂直于该渐近线于点 ，连接 ，先求出 ， ， ，再由题得到 ，求出 ，即得双曲线 的标准方程.
【详解】由双曲线的方程 ： ，知 ，
不妨设圆 与双曲线的一条渐近线 ，交于 ，
福建省泉州市2020届高三数学（理）5月份质检（二模）试题（Word版附解析）
福建省泉州市2020届高三数学（理）5月份质检（二模）试题（Word版附解析）,高三数学5月二模试题,福建,泉州市,莲山课件.
两点，过点 作 垂直于该渐近线于点 ，连接 ，如图.
点 到渐近线 的距离 .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，∴ ，∴ .
在 中， ， ， ， ，
即 ， ，∴ ，
∴ ，
∴双曲线 的标准方程为 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质的应用，考查圆的几何性质，考查平面向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.
三、解答题（共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）
（一）必考题：共60分.
17.己知在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .
（1）若 ， ，求 的大小；
（2）若 ，且 是钝角，求 面积的大小范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理得 ，再利用余弦定理得 ，解方程即得 的大小；
（2）由题得 ，利用正弦定理得 ，再根据 的范围求出 的范围，即得解.
【详解】（1）在 中， ，由正弦定理得 .
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ .
又∵ ，∴ .
在 中，由余弦定理得 ，即 ，
解得 （舍去）， .
∴ .
（2）由（1）知 ，
∴ .
由正弦定理，得 ，∴ .
∵ ， 为钝角，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ .
即 面积的大小范围是 .
【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积范围的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
18.如图，空间几何体 ，△ 、△ 、△ 均是边长为2的等边三角形，平面 平面 ，且平面 平面 ， 为 中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）分别取 ， 中点 ， ，连接 ， ， ， ， ，通过面面平行的判定定理，证得面 面 ，从而证得 平面 .（2）方法一（向量法）：以点 为原点，以 为 轴，以 为 轴，以 为 轴，建立空间直角坐标系，利用平面 和平面 的法向量，计算二面角的余弦值.方法二（几何法）：过 点作 垂线，垂足为 ，连接 .由此作出二面角的平面角 并证明，解直角三角形求得二面角的余弦值.
【详解】（1）分别取 ， 中点 ， ，连接 ， ， ， ，
由面 面 且交于 ， 平面 ， 有 面
由面 面 且交于 ， 平面 ， 有 面
所以 , ，所以 ，
由 有 ，
，所以 ，
,所以面 面 ，所以
（2）
法1：以点 为原点，以 为 轴，以 为 轴，以 为 轴，建立如图所示空间直角坐标系
由 面 ，所以面 的法向量可取
点 ,点 ,点 ，
, ，
设面 的法向量 ，所以 ，取
设二面角 的平面角为 ，据判断其为锐角.
法2：过 点作 垂线，垂足为 ，连接 .
由（1）问可知 又因为 ，所以 平面 ，则有 .
所以 为二面角 的平面角.
由题可知 ，所以 ,则
所以，
【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，包括向量法和几何法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查运算求解能力，属于中档题.
19.某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查.为此需要抽验669人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.
方案一：将每个人的血分别化验，这时需要验669次.
方案二：按 个人一组进行随机分组，把从每组 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这 个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验 次）；否则，若呈阳性，则需对这 个人的血样再分别进行一次化验，这时该组 个人的血总共需要化验 次.
假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为 ，且这些人之间的试验反应相互独立.
（1）设方案二中，某组 个人中每个人的血化验次数为 ，求 的分布列.
（2）设 ，试比较方案二中， 分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案一，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）
【答案】（1）分布列见解析；（2） ，462次； ，404次； ，397次；272次
【解析】
【分析】
（1）由题得 ， ，分别求出对应的概率即得 的分布列；
（2）先求出 ，再分别求出 分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数，即得相比方案一，化验次数最多可以平均减少的次数.
【详解】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为 ，则 .
所以 个人的血混合后呈阴性反应的概率为 ，呈阳性反应的概率为 .
依题意可知 ， ，
所以 的分布列为：
（2）方案二中，结合(1)知每个人的平均化验次数为
，
所以当 时， ，
此时669人需要化验的总次数为462次；
当 时， ，
此时669人需要化验的总次数为404次；
当 时， ，
此时669人需要化验的总次数为397次.
即 时化验次数最多， 时次数居中， 时化验次数最少，
而采用方案一则需化验669次.
故在这三种分组情况下，
相比方案一，当 时化验次数最多可以平均减少 （次）
【点睛】本题主要考查随机变量的分布列，考查独立重复试验的概率和对立事件的概率的计算，考查随机变量的均值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20.已知抛物线 的焦点为 ， 轴上方的点 在抛物线上，且 ，直线 与抛物线交于 ， 两点（点 ， 与 不重合），设直线 ， 的斜率分别为 ， .
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）当 时，求证：直线 恒过定点并求出该定点的坐标.
【答案】（Ⅰ） ；
（Ⅱ）见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据 及抛物线定义可求p，从而得到方程；
（Ⅱ）设出直线方程，与抛物线方程相联立，写出韦达定理，结合 可得 关系，从而得到定点坐标.
【详解】（Ⅰ）由抛物线的定义可以 ，
,抛物线的方程为 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点 的坐标为
当直线 斜率不存在时，此时 重合，舍去.
当直线 斜率存在时，设直线 的方程为
设 ，将直线 与抛物线联立得：
又 ，
即 ，
，
，
将①代入得，
即
得 或
当 时，直线 为 ，此时直线恒过 ;
当 时，直线 为 ，此时直线恒过 （舍去）
所以直线 恒过定点 .
【点睛】本题主要考查抛物线的定义及直线和抛物线的综合问题，直线过定点一般是寻求 之间的关系式.侧重考查数学运算的核心素养.
21.已知函数 .
（1）当 时，讨论 极值点的个数；
（2）若函数 有两个零点，求 的取值范围.
【答案】（1）极大值点 ，且是唯一极值点；（2）
【解析】
【分析】
（1）将 代入，求导得到 在 上单调递减，则 在 上存在唯一零点 ，进而可判断出 是 的极大值点，且是唯一极值点；
（2）令 ，得到 ，则 与 的图象在 上有2个交点，利用导数，数形结合即可得到 的取值范围.
详解】解：（1）由 知 .
当 时， ， ，显然 在 上单调递减.
又 ， ，
∴ 在 上存在零点 ，且是唯一零点，
当 时， ；
当 时， ，
∴ 是 的极大值点，且是唯一极值点.
（2）令 ，则 .
令 ， ，
则 和 的图象在 上有两个交点，
.
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，而 ，
故当 时， ，即 ， 单调递增；
当 时， ，即 ， 单调递减.
故 .
又 ，当 且 时， 且 ，
结合图象，可知若 和 的图象在 上有两个交点，只需 ，
所以 的取值范围为 .
【点睛】
本题考查利用导数求函数单调区间，求函数极值，利用导数数形结合判断函数零点个数，属于中档题.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.
在平面直角坐标系 中，椭圆 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 .
（1）求经过椭圆 右焦点 且与直线 垂直的直线的极坐标方程；
（2）若 为椭圆 上任意-点，当点 到直线 距离最小时，求点 的直角坐标.
【答案】（1） （2）
【解析】
试题分析：
（1）消去参数得到椭圆的标准方程，从而得到右焦点的坐标．由极坐标方程可得直线 的直角坐标方程为 ，由此可得过点F且与 垂直的直线的方程，化为极坐标方程即可．（2）设点 ，可得点 到直线 的距离 ，然后根据三角函数的有关知识求解．
试题解析：
（1）将参数方程 （ 为参数）消去参数 得 ，
∴椭圆的标准方程为 ，
∴椭圆的右焦点为 ，
由 得 ，
∴直线 的直角坐标方程为 ，
∴过点 与 垂直的直线方程为 ，即 ，
∴极坐标方程为 ．
（2）设点 ，
则点 到直线 的距离 ，
其中 ，
∴当 时， 取最小值，
此时 ．
∴ ，
，
∴ 点坐标为 ．
23.已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）若函数 图象的最低点为 ，正数 ， 满足 ，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）先将 写为分段函数的形式，然后根据 分别解不等式即可；
（2）先求出 的最小值，然后根据 图象的最低点为 ，求出 和 的值，再利用基本不等式求出 的取值范围.
【详解】解：（1）由 ，得
∴由 可得 或 或
解得 或 或 ，
综上， ；
（2）∵
∴当 时， 取得最小值3，
∴函数 图象的最低点为 ，即 ， .
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
∴ .
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题.
河北省2020届高三数学（文）下学期名优校联考试题（Word版附解析）
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