高中物理人教版选修3-5教案：《反冲运动 火箭》
高中物理人教版选修3-5教案：《反冲运动 火箭》,反冲运动,莲山课件.
相似三角形
一、目标与策略
明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！
学习目标：
l 了解相似三角形的概念，会准确找出两个相似三角形的对应边、对应角。
l 探索两个三角形相似的条件，会选择恰当的方法识别两个三角形相似。
l 探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算。
l 通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题。
l 培养合情推理和数学说理能力。
重点：
l 掌握相似三角形的判定定理，会运用判定定理判定两个三角形相似；运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度；相似三角形和相似多边形的周长、面积的性质的理解与运用。
难点：
l 相似三角形判定方法的运用；灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）；探索证明相似多边形面积的性质。
学习策略：
对于本知识点的学习，应由低到高处理好以下几个方面的问题：
l 先识记并理解相似三角形的判定方法。
l 灵活运用三角形的判定方法，进行证明或计算。
l 学会由实际问题构建实际三角形，利用相似三角形解决实际问题。
l 结合三角形的判定方法，从本质上去理解相似三角形的性质，在实际应用中加深体会相似三角形的性质。
二、学习与应用
（一）相似图形的概念
我们把 的图形称为相似图形(similar figures).
（二）成比例线段
对于四条线段，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比 ，如(即)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段(proportional segments).
（三）相似多边形(similar polygons)
（1）相似多边形的特征：
相似多边形的对应 相等，对应 相等.
（2）相似多边形的识别：
如果两个多边形的对应 相等，对应 相等，那么这两个多边形相似.
（四）判定两个三角形全等的方法有(简写形式)
、 、 、 。
知识点一：相似三角形（similar triangles）
在和中，如果 ，
我们就说与相似，记作
。k就是它们的 。“ ”读作“相似于”.
要点诠释：
（一）与表示两个三角形全等相类似，表示两个三角形相似时，我们经常把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上，这样可以一目了然的知道它们的对应角和对应边，相似多边形的记法也类似.
（二）对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形 .
知识点二：相似三角形的判定定理
（一）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形 。
（二）如果两个三角形的 组 相等，那么这两个三角形相似。
（三）如果两个三角形的 组 相等，并且相应的 相等，那么这两个三角形相似。
要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的 ，而不是其它的角.
（四）如果一个三角形的 角与另一个三角形的 角 ，那么这两个三角形相似。
要点诠释：此方法告诉我们，要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的
对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个 对应相等，那么这两个三角形相似.
知识点三：相似三角形的性质
（一）相似三角形对应角 ，对应边的比 .
（二）相似三角形对应 、 、 都等于相似比。
知识点四：相似三角形的周长与面积
（一）相似三角形周长的比等于 ；
相似多边形周长的比等于 。
（二）相似三角形面积的比等于 ；
相似多边形面积的比等于 。
类型一：相似三角形的概念
例1：判断对错：
(1) 两个直角三角形一定相似吗？为什么？
(2) 两个等腰三角形一定相似吗？为什么？
(3) 两个等腰直角三角形一定相似吗？为什么？
(4) 两个等边三角形一定相似吗？为什么？
(5) 两个全等三角形一定相似吗？为什么？
思路点拨：要说明两个三角形相似，要同时满足对应角 ，对应边 .要说明不相似，则只要否定其中的一个条件.
解：
举一反三：
【变式1】两个相似比为1的相似三角形全等吗？
解析：
总结升华：由上可知，在特殊的三角形中，有的相似，有的不一定相似.
(1) 两个直角三角形，两个等腰三角形 相似.
(2) 两个等腰直角三角形，两个等边三角形 相似.
(3) 两个全等三角形 相似，且相似比为 ；相似比为 的两个相似三角形全等.
【变式2】下列能够相似的一组三角形为( )
A.所有的直角三角形 B.所有的等腰三角形
C.所有的等腰直角三角形 D.所有的一边和这边上的高相等的三角形
解析：
类型二：相似三角形的判定
例2：如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.
思路点拨：由可知AB∥CD，AD∥BC，再根据平行线找相似三角形.
解：
总结升华：
例3：已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6.在Rt△EDF中，∠F=90°，DF=3，EF=4，则△ABC和△EDF相似吗？为什么？
思路点拨：已知△ABC和△EDF都是 三角形，且已知两边长，所以可利用勾股定理分别求出第三边 和 ，再看三边是否对应成比例.
解：
总结升华：
例4：如图所示，点D在△ABC的边AB上，满足怎样的条件时，△ACD与△ABC相似？试分别加以列举.
思路点拨：此题属于探索问题，由相似三角形的识别方法可知，△ACD与△ABC已有公共角 ，要使此两个三角形相似，可根据相似三角形的识别方法寻找一个条件即可.
解：
总结升华：
举一反三：
【变式1】已知：如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点．
求证：△ADQ∽△QCP．
思路点拨：因△ADQ与△QCP是直角三角形，虽有相等的直角，但不知AQ与PQ是否垂直，所以不能用两个角对应相等判定．而四边形ABCD是正方形，Q是CD中点，而BP=3PC，所以可用对应边成比例夹角相等的方法来判定．具体证明过程如下：
证明：
【变式2】如图，弦和弦相交于内一点，求证：.
思路点拨：题目中求证的是等积式，我们可以转化为 式，从而找到应证哪两个三角形相似.同时圆当中同弧或等弧所对的圆周角 要会灵活应用.
证明：
【变式3】已知：如图，AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点．
求证：△DFE∽△ABC．
思路点拨：EF为△ABC的中位线，EF= BC，又DE和DF都是直角三角形斜边上的
线，DE= AB，DF= AC．因此考虑用三边对应成比例的两个三角形相似．
证明：
高中物理人教版选修3-5 第十六章：《动量守恒定律》教案
高中物理人教版选修3-5 第十六章：《动量守恒定律》教案,动量守恒定律,莲山课件.
总结升华：
类型三：相似三角形的性质
例5：△ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.
思路点拨：因没有说明长4cm的线段是△DEF的最大边或最小边，因此需分三种情况进行讨论.
解：
总结升华：
例6：如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.
思路点拨：利用已知条件及相似三角形的判定方法及性质求出矩形的长和宽，从而求出矩形的面积.
解：
总结升华：
举一反三：
【变式1】△ABC中，DE∥BC，M为DE中点，CM交AB于N，若，求.
解：
总结升华：
类型四：相似三角形的应用
例7：如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？
方案1：如上左图，构造全等三角形，测量CD，得到 ，得到河宽.
方案2：
思路点拨：这是一道测量河宽的实际问题，还可以借用相似三角形的对应边的比相等，比例式中四条线段，测出了三条线段的长，必能求出第四条.
如上右图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？
解：
总结升华：
举一反三：
【变式1】如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．
(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么?
(2)求古塔的高度．
解：
【变式2】已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC？
思路点拨：光线AD//BE，作EF⊥DC交AD于F.则，利用边的比例关系求出BC.
解：
类型五：相似三角形的周长与面积
例8：已知：如图，在△ABC与△CAD中，DA∥BC，CD与AB相交于E点，且AE：EB=1：2，EF∥BC交AC于F点，△ADE的面积为1，求△BCE和△AEF的面积．
思路点拨：利用△ADE∽△BCE，以及其他有关的已知条件，可以求出△BCE的面积．
△ABC的边AB上的高也是△BCE的高，根据AB：BE=3：2，可求出△ABC的面积．最后利用△AEF∽△ABC，可求出△AEF的面积．
解：
总结升华：
举一反三：
【变式1】有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.
解：
【变式2】如图，已知：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB，P点在AC上(与点A、C不重合)，Q点在BC上．
(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；
(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；
解：
类型六：综合探究
例9：如图，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点(不与A、D重合)，PE⊥BP，P为垂足，PE交DC于点E，
(1)设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；
(2)请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由.
解：
总结升华：
(1)
(2)
例10：如图，在△ABC中，BC=2，BC边上的高AD=1，P是BC上任意一点，PE∥AB交AC于E，PF∥AC交AB于F.
(1) 设BP=，△PEF的面积为，求与的函数解析式和的取值范围；
(2) 当P在BC边上什么位置时，值最大.
解：
总结升华：建立三角形的面积与线段长之间的函数关系，可考虑从以下几方面考虑：
(1)
(2)
(3)
要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。
（一）全等与相似的类比：
全等三角形是特殊的相似三角形，其特殊之处在于全等三角形的相似比为1．
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三角形全等 |
三角形相似 |
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判定方法 |
两 夹一边对应相等(ASA) 两 一对边对应相等(AAS) 两边及 对应相等(SAS) 三边对应 (SSS) 直角三角形中一直角边与斜边对应 (HL) |
两 对应相等 两边 ，且 角相等 三边对应 直角三角形中斜边与一直角边 |
（二）相似三角形的常见图形及其变换：
人教版2019—2020学年第二学期选修4 第三章第三节：《盐类的水解》教案
人教版2019—2020学年第二学期选修4 第三章第三节：《盐类的水解》教案,盐类的水解,莲山课件.
