吉林省实验中学2019-2020高二数学（理）下学期期中试题（Word版附答案）
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吉林省实验中学2019-2020学年度下学期高二年级
期中考试数学（文）试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．点M的直角坐标(3，－4)化为极坐标(ρ，θ) (ρ≥0,0≤θ＜2π)，则
（A）ρ＝3，θ＝4 （B）ρ＝5，θ＝4
（C）ρ＝5，tanθ＝43 （D）ρ＝5，tanθ＝－43
2．已知复数z＝i (1+ i)（i为虚数单位），则|z|＝
（A） （B） （C） （D）
3．某演绎推理的“三段”分解如下：
①函数 是对数函数；②对数函数 （a＞1)是增函数；③函数 是增函数，则按照演绎推理的三段论模式，排序正确的是
（A）①→②→③ （B）③→②→① （C）②→①→③ （D）②→③→①
4．在用反证法证明命题:“若 ,则a,b,c三个数中至少有一个大于0”时，正确的反设为:设a,b,c三个数
（A）都小于0 （B）都小于或等于0
（C）最多一个小于0 （D）最多一个小于或等于0
5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是
（A） （B） （C） （D）1
6．101110(2)转化为八进制数是
（A）46(8) （B）56(8) （C）67(8) （D）78(8)
7．设x＞0，y＞0，且x＋y＝3，则2x＋2y的最小值是
（A）8 （B） 6 （C）32 （D） 42
8．函数y＝|x＋4|＋|x＋6|的最小值为
（A）2 （B） （C）4 （D）6
9．观察下列各式： ， ， ，…，则 的末两位数字为
（A）49 （B）43 （C）07 （D）01
10．已知正实数a，b，c，d满足a＋b＝1，c＋d＝1，则 的最小值是
（A）10 （B） （C） （D）9
11．已知椭圆 与双曲线 有相同的左右焦点 ．若点 是 在第一象限内的交点，且 ，设 的离心率分别为 ，则 的取值范围是
（A） （B） （C） （D）以上答案都不对
12．直线 分别与曲线 ， 交于两点M、N，则|MN|的最小值为
（A）ln2 （B）1＋ln2 （C）1－ln2 （D）1
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）
13．设i为虚数单位，则复数 的共轭复数 ________．
14．已知下列说法：①若a＞b，则a2＞b2；②若a＞b，则 ；③若a＞b，则a3＞ b3；④若a＜0，－1＜b＜0，则ab2＞a．其中正确的是__________．(只填序号即可)
15．在极坐标系中，曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1与ρ(cosθ－sinθ)＝1的交点的极坐标为________．(ρ≥0,0≤θ＜2π)
16．已知直线 和直线 ，抛物线 上一动点 到直线 和直线 的距离之和的最小值是__________．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换x′＝2x，y′＝2y后， 曲线
C变为曲线(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，求曲线C的方程，并判断其形状．
18．（本小题满分12分）已知 ， ，若 ，用综合法证明：a＋b≥9．
19．（本小题满分12分）设函数 ．
（Ⅰ）当 时，求不等式 的解集；
（Ⅱ）若 恒成立，求 的取值范围．
20．（本小题满分12分） 市某机构为了调查该市市民对我国申办某体育赛事的态度，
随机选取了 位市民进行调查，调查结果统计如下：
支持 不支持 合计
男性市民 60
女性市民 50
合计 70 140
（Ⅰ）根据已知数据，把表格数据填写完整；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）完成的表格数据回答下列问题：
（i）能否在犯错误的概率不超过 的前提下认为支持申办某体育赛事与性别有关；
（ii）已知在被调查的支持申办某体育赛事的男性市民中有 位退休老人，其中 位是教
师，现从这 位退休老人中随机抽取 人，求至多有一位老师的概率．
附： ，其中 ．
21．（本小题满分12分）已知椭圆 ： 的离心率为 ，椭圆 的
下顶点和上顶点分别为 ， ，
甘肃省靖远二中2020届高三数学（理）5月月考试题（PDF版附答案）
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且 ．过点 且斜率为 的直线 与椭圆
交于 ， 两点．
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）当 时，求 的面积；
（Ⅲ）求证：不论 为何值，直线 与直线 的交点 恒在一条定直线上．
22．（本小题满分12分）已知函数f (x)＝mex－ln x－1．
（Ⅰ）当m＝1时，求曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程；
（Ⅱ）当m≥1时，证明：f (x)＞1．
参考答案
二、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D A C B C B D A C D B D
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）
13. 14. ①③④ 15. (1,0) 16. 2
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.解：将x′＝2x，y′＝2y代入(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，得(2x－5)2＋(2y＋6)2＝1，化简得x－522＋(y＋3)2＝14.曲线C是以52，－3为圆心，半径为12的圆．
18.解：因为 ， ，且 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，所以 ．
19. 解：（1）当 时，
可得 的解集为 ．
（2） 等价于 ．
而 ，故 等价于 ．
由 可得 或 ，所以 的取值范围是 ．
20. （1）
支持 不支持 合计
男性市民 40 20 60
女性市民 30 50 80
合计 70 70 140
（2）（i）因为 的观测值 ，
所以能在犯错误的概率不超过 的前提下认为支持申办足球世界杯与性别有关.
（ii）记 人分别为 ， ， ， ， ，其中 ， 表示教师，从 人中任意取 人的情况有10种，其中至多有 位教师的情况有7种，
故所求的概率 .
21. 解：（1）由 ，得
由 得
所以椭圆 的标准方程为
（2）当 时，直线 的方程为
联立方程 得
设 ，则有
所以
点 到直线 的距离为
所以
（3）直线 的方程为
由 得
由 得
设 ，则有
因为 ，设
由 三点共线得 ①
由 三点共线得 ②
由 得
所以可得 ，即
故可得点 恒在直线 上.
22. 解：(1)当m＝1时，f(x)＝ex－lnx－1，
所以f′(x)＝ex－1x，所以f(1)＝e－1，f′(1)＝e－1,
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(e－1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x.
(2)证明：当m≥1时，f(x)＝mex－lnx－1≥ex－lnx－1.
要证明f(x)>1，只需证明ex－lnx－2>0.
设g(x)＝ex－lnx－2，则g′(x)＝ex－1x.
设h(x)＝ex－1x，则h′(x)＝ex＋1×2>0，
所以函数h(x)＝g′(x)＝ex－1x在(0，＋∞)上单调递增．
因为g′12＝e12－2<0>0，
所以函数g′(x)＝ex－1x在(0，＋∞)上有唯一零点x0，且x0∈12，1.
因为g′(x0)＝0，所以ex0＝1×0，即lnx0＝－x0.
当x∈0，x0时，g′(x)<0>0.
所以当x＝x0时，g(x)取得最小值gx0.
故g(x)≥gx0＝ex0－lnx0－2＝1×0＋x0－2>0.
综上可知，当m≥1时，f(x)>1.
贵州省贵阳市2020届高三数学（文）6月适应性考试（二）试题（扫描版附答案）
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