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人教版七年级数学期末复习专题–压轴题培优
已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B.
（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系 ；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数.
如图，已知两条射线OM∥CN，动线段AB的两个端点A．B分别在射线OM、CN上，且∠C=∠OAB=108°，F在线段CB上，OB平分∠AOF，OE平分∠COF.
（1）请在图中找出与∠AOC相等的角，并说明理由；
（2）若平行移动AB，那么∠OBC与∠OFC的度数比是否随着AB位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；
（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=2∠OBA？若存在，请求出∠OBA度数；若不存在，说明理由.
已知AB∥CD，线段EF分别与AB、CD相交于点E、F．
（1）如图①，当∠A=25°,∠APC=70°时，求∠C的度数；
（2）如图②,当点P在线段EF上运动时（不包括E、F两点）,∠A．∠APC与∠C之间有什么确定的相等关系？试证明你的结论．
（3）如图③，当点P在线段FE的延长线上运动时,（2）中的结论还成立吗？如果成立,说明理由；如果不成立，试探究它们之间新的相等关系并证明．
如图1,在平面直角坐标系中,A（a,0）是x轴正半轴上一点,C是第四象限一点,CB⊥y轴,交y轴负半轴于B（0,b）,且(a-3)2+|b+4|=0,S四边形AOBC=16．
（1）求C点坐标；
（2）如图2,设D为线段OB上一动点,当AD⊥AC时,∠ODA的角平分线与∠CAE的角平分线的反向延长线交于点P,求∠APD的度数．
（3）如图3,当D点在线段OB上运动时,作DM⊥AD交BC于M点,∠BMD、∠DAO的平分线交于N点,则D点在运动过程中,∠N的大小是否变化？若不变,求出其值,若变化,说明理由．
已知BC∥OA,∠B=∠A=100°.试回答下列问题：
（1）如图1所示,求证：OB∥AC；
（2）如图2,若点E、F在BC上,且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF.试求∠EOC的度数；
（3）在（2）的条件下，若平行移动AC，如图3，那么∠OCB：∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值。
如图，已知AM//BN，∠A=600.点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D.
(1)①∠ABN的度数是 ；②∵AM //BN，∴∠ACB=∠ ；
(2)求∠CBD的度数；
(3)当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律.
(4)当点P运动到使∠ACB=∠APD时，∠ABC的度数是 .
课题学习：平行线的“等角转化”功能．阅读理解：
如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程．
解：过点A作ED∥BC，所以∠B= ，∠C= ．
又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°．
所以∠B+∠BAC+∠C=180°．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
方法运用：
（2）如图2,已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数．
深化拓展：
（3）已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC=70°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间．
请从下面的A，B两题中任选一题解答，我选择 题．
A．如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC=60°，则∠BED的度数为 °．
B．如图4,点B在点A的右侧,且AB＜CD，AD＜BC.若∠ABC=n°，则∠BED度数为 °．（用含n的代数式表示）
已知A(0，a)，B(b，0)，a、b满足.
（1）求a、b的值；
（2）在坐标轴上找一点D，使三角形ABD的面积等于三角形OAB面积的一半，求D点坐标；
（3）做∠BAO平分线与∠AOC平分线BE的反向延长线交于P点，求∠P的度数.
如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），且满足(a+2)2+b-2=0，过C作CB⊥x轴于B．
（1）求△ABC的面积．
（2）若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，如图2，求∠AED的度数．
（3）在y轴上是否存在点P，使得△ABC和△ACP的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.
如图1，在平面直角坐标系中，点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴上一点，C(0，a)，D(b，a)，其中a，b满足关系式：|a+3|+(b-a+1)2=0.
（1）a= ，b= ，△BCD的面积为 ；
（2）如图2，若AC⊥BC，点P线段OC上一点，连接BP，延长BP交AC于点Q，当∠CPQ=∠CQP时，求证:BP平分∠ABC；
（3）如图3，若AC⊥BC，点E是点A与点B之间一动点，连接CE,CB始终平分∠ECF,当点E在点A与点B之间运动时，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由.
如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，3），C（4，0），且满足（a+b）2+|a-b+6|=0，线段AB交y轴于F点．
（1）求点A．B的坐标．
（2）点D为y轴正半轴上一点，若ED∥AB，且AM，DM分别平分∠CAB，∠ODE，如图2，
求∠AMD的度数．
（3）如图3，（也可以利用图1）
①求点F的坐标；
②点P为坐标轴上一点，若△ABP的三角形和△ABC的面积相等？若存在，求出P点坐标．
如图所示，A(1，0),点B在y轴上，将三角形OAB沿x轴负方向平移，平移后的图形为三角形DEC，且点C的坐标为（-3，2）．
（1）直接写出点E的坐标 ；
（2）在四边形ABCD中，点P从点B出发，沿“BC→CD”移动．若点P的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，回答下列问题：
①当t= 秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数；
②求点P在运动过程中的坐标，（用含t的式子表示，写出过程）；
③当3秒＜t＜5秒时，设∠CBP=x°，∠PAD=y°，∠BPA=z°，试问 x，y，z之间的数量关系能否确定？若能，请用含x，y的式子表示z，写出过程；若不能，说明理由．
如图，已知平面直角坐标系内A (2a-1，4) , B (-3，3b+1)，A．B;两点关于y轴对称.
(1)求A．B的坐标;
(2)动点P、Q分别从A点、B点同时出发，沿直线AB向右运动，同向而行，点的速度是每秒2个单位长度，Q点的速度是每秒4个单位长度，设P、Q的运时间为t秒，用含t的代数式表示三角形OPQ的面积S，并写出t的取值范围;
(3)在平面直角坐标系中存在一点M，点M的横纵坐标相等，且满足S△PQM：S△OPQ=3:2，求出点M的坐标，并求出当S△AQM=15时，三角形OPQ的面积.
如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，8），点B（m，0），且m＞0.把△AOB绕点A逆时针旋转90°，得△ACD，点O，B旋转后的对应点为C，D.
（1）点C的坐标为 ；
（2）①设△BCD的面积为S，用含m的式子表示S，并写出m的取值范围；
②当S=6时，求点B的坐标（直接写出结果即可）.
如图，已知在平面直角坐标系中，△ABO的面积为8, OA=OB, BC=12，点P的坐标是(a, 6).
(1)求△ABC三个顶点A, B, C的坐标;
(2)若点P坐标为(1, 6)，连接PA, PB，则△PAB的面积为 ;
(3)是否存在点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积?如果存在，请求出点P的坐标.
参考答案
解：
解：
⑴∠C=45°分⑵∠C=∠APC-∠A（证明略）⑶不成立，新的相等关系为∠C=∠APC+∠A（证明略）
解：（1）∵（a﹣3）2+|b+4|=0，∴a﹣3=0，b+4=0，
∴a=3，b=﹣4，∴A（3，0），B（0，﹣4），∴OA=3，OB=4，
∵S四边形AOBC=16．∴0.5（OA+BC）×OB=16，∴0.5（3+BC）×4=16，∴BC=5，
∵C是第四象限一点，CB⊥y轴，∴C（5，﹣4）
（2）如图，
延长CA，∵AF是∠CAE的角平分线，∴∠CAF=0.5∠CAE，
∵∠CAE=∠OAG，∴∠CAF=0.5∠OAG，
∵AD⊥AC，∴∠DAO+∠OAG=∠PAD+∠PAG=90°，
∵∠AOD=90°，∴∠DAO+∠ADO=90°，∴∠ADO=∠OAG，∴∠CAF=0.5∠ADO，
∵DP是∠ODA的角平分线∴∠ADO=2∠ADP，∴∠CAF=∠ADP，
∵∠CAF=∠PAG，∴∠PAG=∠ADP，
∴∠APD=180°﹣（∠ADP+∠PAD）=180°﹣（∠PAG+∠PAD）=180°﹣90°=90°
即：∠APD=90°
（3）不变，∠ANM=45°理由：如图，
∵∠AOD=90°，∴∠ADO+∠DAO=90°，
∵DM⊥AD，∴∠ADO+∠BDM=90°，∴∠DAO=∠BDM，
∵NA是∠OAD的平分线，∴∠DAN=0.5∠DAO=0.5∠BDM，
∵CB⊥y轴，∴∠BDM+∠BMD=90°，∴∠DAN=0.5（90°﹣∠BMD），
∵MN是∠BMD的角平分线，∴∠DMN=0.5∠BMD，
∴∠DAN+∠DMN=0.5（90°﹣∠BMD）+0.5∠BMD=45°
在△DAM中，∠ADM=90°，∴∠DAM+∠DMA=90°，
在△AMN中，
∠ANM=180°﹣（∠NAM+∠NMA）
=180°﹣（∠DAN+∠DAM+∠DMN+∠DMA）
=180°﹣[（∠DAN+DMN）+（∠DAM+∠DMA）]
=180°﹣（45°+90°）=45°，
∴D点在运动过程中，∠N的大小不变，求出其值为45°
略
解：
（1）120°；∠CBN
（2）∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A=180°，
∴∠ABN=180°-60°=120°，
∴∠ABP+∠PBN=120°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP=120°，
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=60°；
（3）不变，∠APB：∠ADB=2：1．
∵AM∥BN，
∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN=2∠DBN，
∴∠APB：∠ADB=2：1；
（4）∵AM∥BN，
∴∠ACB=∠CBN，
当∠ACB=∠ABD时，则有∠CBN=∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC=∠DBN，
由（1）可知∠ABN=120°，∠CBD=60°，
∴∠ABC+∠DBN=60°，
∴∠ABC=30°．
解：（1）∵ED∥BC，∴∠B=∠EAD，∠C=∠DAE，故答案为：∠EAD，∠DAE；
（2）过C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠D=∠FCD，
∵CF∥AB，∴∠B=∠BCF，∵∠BCF+∠BCD+∠DCF=360°，∴∠B+∠BCD+∠D=360°，
（3）A．如图2，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=60°，∠ADC=70°，
∴∠ABE=∠ABC=30°，∠CDE=∠ADC=35°，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°；故答案为：65；
B、如图3，过点E作EF∥AB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=70°
∴∠ABE=∠ABC=n°，∠CDE=∠ADC=35°
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠BEF=180°﹣∠ABE=180°﹣n°，∠CDE=∠DEF=35°，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=180°﹣n°+35°=215°﹣n°．故答案为：215°﹣n．
解：（1）a=-4，b=8；（2）D(-6,0),(-2,0),(0,4),(0,12)；（3）45°.
解：
解：
解：
解：（1）根据题意，可得三角形OAB沿x轴负方向平移3个单位得到三角形DEC，
∵点A的坐标是（1，0），∴点E的坐标是（-2，0）；故答案为：（-2，0）；
（2）①∵点C的坐标为（-3，2）．∴BC=3，CD=2，
∵点P的横坐标与纵坐标互为相反数；∴点P在线段BC上，∴PB=CD，即t=2；
∴当t=2秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数；故答案为：2；
②当点P在线段BC上时，点P的坐标（-t，2），
当点P在线段CD上时，点P的坐标（-3，5-t）；
③能确定，如图，过P作PE∥BC交AB于E，则PE∥AD，∴∠1=∠CBP=x°，∠2=∠DAP=y°，∴∠BPA=∠1+∠2=x°+y°=z°，∴z=x+y．
解：
解：（1）∵点A（0，8），∴AO=8，
∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，∴AC=AO=8，∠OAC=90°，∴C（8，8），
故答案为：（8，8）；
（2）①延长DC交x轴于点E，∵点B（m，0），∴OB=m，
∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，
∴DC=OB=m，∠ACD=∠AOB=90°，∠OAC=90°，∴∠ACE=90°，
∴四边形OACE是矩形，∴DE⊥x主，OE=AC=8，
分三种情况：
a、当点B在线段OE的延长线上时，如图1所示：
则BE=OB﹣OE=m﹣8，∴S=0.5DC•BE=0.5m（m﹣8），即S=0.5m2﹣4m（m＞8）；
b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，如图2所示：
则BE=OE﹣OB=8﹣m，∴S=0.5DC•BE=0.5m（8﹣m），即S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；
c、当点B与E重合时，即m=8，△BCD不存在；
综上所述，S=0.5m2﹣4m（m＞8），或S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；
②当S=6，m＞8时，0.5m2﹣4m=6，解得：m=4±2（负值舍去），∴m=4+2；
当S=6，0＜m＜8时，﹣0.5m2+4m=6，解得：m=2或m=6，
∴点B的坐标为（4+2，0）或（2，0）或（6，0）.
