2019-2020学年高中数学北师大版必修四习题：三角函数单元检测（答案）
2019-2020学年高中数学北师大版必修四习题：三角函数单元检测（答案）,高三下数学单元检测,莲山课件.
高中数学 第1章 解三角形章末过关检测卷 苏教版必修5
(本部分在学生用书中单独成册)
第1章 解三角形
(测试时间：120分钟 评价分值：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．(2013·天津卷)在△ABC中，∠ABC＝4(π)，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝(C)
A.10(10) B.5(10) C.10(10) D.5(5)
解析：由余弦定理得AC2＝32＋2－2×3×cos 4(π)⇒AC＝.
再由正弦定理4(π)＝sin∠BAC(3)⇒sin∠BAC＝10(10).
2．在△ABC中，若a＝7，b＝8，cos C＝14(13)，则最大角的余弦是(C)
A．－5(1) B．－6(1) C．－7(1) D．－8(1)
解析：由c2＝72＋82－2×7×8×14(13)，得c＝3，
∴B是最大角，cos B＝2×7×3(72＋32－82)＝－7(1).
3．(2014·新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是2(1)，AB＝1，BC＝，则AC＝(B)
A．5 B. C．2 D．1
解析：利用三角形面积公式可求角B，再利用余弦定理求得B的对边AC.
∵S＝2(1)AB·BCsin B＝2(1)×1×sin B＝2(1)，
∴sin B＝2(2).∴B＝4(π)或4(3π).
当B＝4(3π)时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝1＋2＋2＝5，∴AC＝，此时△ABC为钝角三角形，符合题意；
当B＝4(π)时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝1＋2－2＝1，∴AC＝1，此时AB2＋AC2＝BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意．故AC＝.
4．已知三角形的两边之差是2，这两边夹角的余弦值为5(3)，且这个三角形的面积为14，那么这两边的长分别为(D)
A．3，5 B．4，6 C．6，8 D．5，7
解析：设三角形的两边为a，b，夹角为α，由cos α＝5(3)可知，sin α＝5(4)，由三角形面积公式，得2(1)ab×5(4)＝14，得ab＝35，观察选项知选D.
5．(2013·辽宁卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，又asin Bcos C＋csin Bcos A＝2(1)b，且a＞b，则∠B＝(A)
A.6(π) B.3(π) C.3(2π) D.6(5π)
解析：由正弦定理得，
sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝2(1) sin B，即
sin Acos C＋cos Asin C＝2(1)⇒sin(A＋C)＝2(1)，
亦即sin B＝2(1)，又a＞b，∴B＝6(π).
6．在△ABC中，三边长AB＝7，BC＝5，AC＝6，则→(AB)·→(BC)的值为(D)
A．19 B．－14 C．－18 D．－19
解析：→(AB)·→(BC)＝|→(AB)|·|→(BC)|·cos〈→(AB)，→(BC)〉＝|→(AB)|·|→(BC)|·cos(π－B)＝－|→(AB)|·|→(BC)|·cos B＝－|→(AB)|·|→(BC)|·|(BC)＝－2(49＋25－36)＝－19.
7．在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于(A)
A.3(6) B.2(6) C.2(1) D.2(3)
解析：由大边对大角知A＝75°，故边a最长，边b最短，由正弦定理sin B(b)＝sin C(c)，得b＝3(6).
8．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角之和为(B)
A．90° B．120° C．135° D．150°
解析：求最大、最小角之和即求中间角大小，由余弦定理知，cos B＝2×5×8(52＋82－72)＝2(1)，∴B＝60°，即最大角、最小角之和为A＋C＝180°－B＝120°.
9．在△ABC中，A＝60°，且最大边长和最小边长是方程x2－7x＋11＝0的两个根，则第三边的长为(C)
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：∵A＝60°，∴第三边即为a，又b＋c＝7，bc＝11，
∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc＝72－3×11＝16.
∴a＝4.
10．在某海域，一货轮航行到M处，测得灯塔P在货轮的北偏东15°并与灯塔P相距20 n mile，随后货轮按北偏西30°方向航行30分钟，又测得灯塔P在货轮的东北方向，则货轮的速度为(B)
A．20(＋) n mile/h B．20(－) n mile/h
C．20(＋) n mile/h D．20(－) n mile/h
解析：如图
由题意可知，∠M＝15°＋30°＝45°，∠N＝60°＋45°＝105°，故知∠P＝30°，由正弦定理，得
sin 105°(20)＝sin 30°(MN)，
∴MN＝sin（60°＋45°）(10)＝2(40)＝10(－)．故知速度为20(－) n mile/h.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a＝2，b＝3，cos C＝3(1)，则其外接圆半径为________．
解析：∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋9－2×2×3×3(1)＝9，
∴c＝3，sin C＝2(1)＝3(2).
∴R＝2sin C(c)＝8(9).
答案：8(9)
12．在△ABC中，A、B、C是三个内角，C＝30°，那么sin2A＋sin2B－2sin Asin Bcos C的值是________．
解析：sin2 A＋sin2 B－2sin Asin Bcos C＝2R(1)×(a2＋b2－2abcos C)＝2R(1)×c2＝sin2 C＝2(1)＝4(1).
答案：4(1)
13．(2014·山东卷)在△ABC中，已知→(AB)·→(AC)＝tan A，当A＝6(π)时，△ABC的面积为________．
解析：由向量知识求出|→(AB)||→(AC)|的值，代入三角形面积公式求解．
2019-2020学年高中数学北师大版必修四习题：三角恒等变形单元检测（答案）
2019-2020学年高中数学北师大版必修四习题：三角恒等变形单元检测（答案）,高三下数学单元检测,莲山课件.
已知A＝6(π)，由题意得|→(AB)||→(AC)|cos6(π)＝tan6(π)，|→(AB)||→(AC)|＝3(2)，所以△ABC的面积 S＝2(1)|→(AB)||→(AC)|sin6(π)＝2(1)×3(2)×2(1)＝6(1).
答案：6(1)
14．(2013·安徽卷)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＋c＝2a，且3sin A＝5sin B，则角C＝________．
解析：由3sin A＝5sin B⇒3a＝5b，
又b＋c＝2a⇒b＝5(3)a，c＝5(7)a，∴cos C＝2ab(a2＋b2－c2)＝－2(1).∴C＝3(2π).
答案：3(2π)
三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤)
15．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos 2(A)＝5(5)，→(AB)·→(AC)＝3.
(1)求△ABC的面积；
(2)若c＝1，求a的值．
解析：(1)cos A＝2cos22(A)－1＝2×5(5) －1＝5(3)，
∴sin A＝5(4)，→(AB)·→(AC)＝bc×5(3)＝3.∴bc＝5.
故面积S＝2(1)bcsin A＝2(1)×5×5(4)＝2.
(2)由bc＝5和c＝1得b＝5，
∴a＝
＝5(3)
＝2.
16．(本小题满分12分)(2014·山东卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝3，cos A＝3(6)，B＝A＋2(π).
(1)求b的值；
(2)求△ABC的面积．
解析：(1)在△ABC中，由题意知，sin A＝＝3(3)，又因为B＝A＋2(π)，
所以sin B＝sin2(π)＝cos A＝3(6).
由正弦定理，得b＝sin A(asin B)＝3(3)＝3.
(2)由B＝A＋2(π)，得
cos B＝cos2(π)＝－sin A＝－3(3).
由A＋B＋C＝π，得C＝π－(A＋B)．
所以sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin A·cos B＋cos Asin B＝3(3)×3(3)＋3(6)×3(6)＝3(1).
因此△ABC的面积为
S＝2(1)absin C＝2(1)×3×3×3(1)＝2(2).
17．(本小题满分14分)在△ABC中，m＝2(C)，n＝2(C)，且m与n的夹角为3(π).
(1)求C；
(2)已知c＝3，三角形面积S＝3(3)，求a＋b.
解析：(1)∵m＝2(C)，
n＝2(C)，
∴m·n＝cos22(C)－sin2 2(C)＝cos C.
又m·n＝|m|·|n|cos3(π)＝cos3(π)＝2(1)，
∴cos C＝2(1)，C＝3(π).
(2)∵c2＝a2＋b2－2abcos C，c＝3，
∴9＝a2＋b2－ab.由S＝2(1)absin C＝4(3)ab＝3(3)，
得ab＝3(16)，从而(a＋b)2＝9＋3ab＝25，
∴a＋b＝5.
18．(本小题满分14分)如图，货轮在海上以35 n mile/h的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152°的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为122°.半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为32°.求此时货轮与灯塔之间的距离．
解析：在△ABC中，∠B＝152°－122°＝30°，∠C＝180°－152°＋32°＝60°，∠A＝180°－30°－60°＝90°，BC＝2(35)，
∴AC＝2(35)sin 30°＝4(35).
∴船与灯塔间的距离为4(35) n mile.
19．(本小题满分14分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos(A－C)＋cos B＝1，a＝2c，求C.
解析：由A＋B＋C＝π，得cos B＝－cos(A＋C)，
于是cos(A－C)＋cos B＝cos(A－C)－cos(A＋C)＝2sin Asin C＝1⇒sin Asin C＝2(1).①
由a＝2c得sin A＝2sin C．②
由①②得sin C＝2(1)，又a＝2c＞c，∴C＝6(π).
20．(本小题满分14分)在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin A＝3(2).
(1)求tan22(B＋C)＋sin2 2(A)的值；
(2)若a＝2，S△ABC＝，求b的值．
解析：(1)在锐角三角形ABC中，由sin A＝3(2)，得cos A＝3(1)，
∴tan22(B＋C)＋sin2 2(A)
＝2(B＋C)＋sin2 2(A)
＝1＋cos（B＋C）(1－cos（B＋C）)＋2(1)(1－cos A)
＝1－cos A(1＋cos A)＋2(1)(1－cos A)
＝3(1)＋2(1)×3(1)＝3(7).
(2)因为S△ABC＝，
又S△ABC＝2(1)bcsin A＝2(1)bc·3(2)＝，则bc＝3.
将a＝2，cos A＝3(1)，c＝b(3)代入a2＝b2＋c2－2bccos A，
得b4－6b2＋9＝0，解得b＝.备注：以上内容仅显示部分，需完整版请下载！
2019-2020学年苏教版必修5高中数学 1.1正弦定理练习（解析答案）
2019-2020学年苏教版必修5高中数学 1.1正弦定理练习（解析答案）,高三下数学同步练习,莲山课件.
