2019-2020学年苏教版必修5高中数学 1.3正弦定理、余弦定理的应用（解析答案）
2019-2020学年苏教版必修5高中数学 1.3正弦定理、余弦定理的应用（解析答案）,高三下数学同步练习,莲山课件.
1．2 余弦定理
△ABC中，已知边a，b及∠C.
1．若∠C＝90°，则c2＝a2＋b2．
2．若∠C是锐角，如左下图，作AD⊥BC于点D，于是AD＝b·sin C，CD＝b·cos_C，BD＝a－bcos_C．
3．若∠C为钝角，如右上图，作AD⊥BC，与BC的延长线相交于点D，此时AD＝b·sin(π－C)＝b·sin_C，CD＝b·cos(π－C)＝－bcos C.
4．在△ABC中，已知边a、b及∠C，由c2＝a2＋b2－2abcos C可得cos C＝2ab(a2＋b2－c2)．
5．结论“三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍”，称为余弦定理．
6．根据cos C＝2ab(a2＋b2－c2)可知，当a2＋b2 2时 ，△ABC是 钝角三角形．
7．若△ABC是锐角三角形，则a2＋b2>c2.
►基础巩固
一、选择题
1．(2013·天津卷)在△ABC中，∠ABC＝4(π)，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝(C)
A.10(10) B.5(10)
C.10(10) D.5(5)
解析：由余弦定理得AC2＝BA2＋BC2－2BA·BCcos∠ABC＝5，∴AC＝.再由正弦定理sin∠BAC(BC)＝sin∠ABC(AC)，可得sin∠BAC＝10(10).
2．在△ABC中，a＝1，b＝，c＝2，则B等于(C)
A．30° B．45°
C．60° D．120°
解析：cos B＝2ac(c2＋a2－b2)＝4(4＋1－3)＝2(1).
∴B＝60°.
3．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是(B)
A．90° B．120°
C．135° D．150°
解析：设边长为7的边所对的角为θ，则由余弦定理得：
cos θ＝2×5×8(52＋82－72)＝2(1)，∴θ＝60°.
∴最大角与最小角的和为180°－60°＝120°.
4．在△ABC中，b2＋c2－a2＝－bc，则A等于(C)
A．60° B．135°
C．120° D．90°
解析：cos A＝2bc(b2＋c2－a2)＝－2(1)，∴A＝120°.
5．在△ABC中，∠B＝60°，b2＝ac，则△ABC一定是(D)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
解析：由b2＝ac及余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得b2＝a2＋c2－ac，∴(a－c)2＝0.∴a＝c.又B＝60°，∴△ABC为等边三角形．
二、填空题
6．(2013·上海卷)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3a2＋2ab＋3b2－3c2＝0，则cos C＝________________________________________________________________________.
解析：由3a2＋2ab＋3b2－3c2＝0得a2＋b2－c2＝－3(2)ab，从而cos C＝2ab(a2＋b2－c2)＝－3(1).
答案：－3(1)
7．在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C＝10(9)，则BC＝________．
解析：由余弦定理得：AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C，即：5＝25＋BC2－9BC，解得：BC＝4或5.
答案：4或5
8．在△ABC中，化简b·cos C＋c·cos B＝________．
解析：由余弦定理得：
原式＝b·2ab(a2＋b2－c2)＋c·2ac(a2＋c2－b2)
2019-2020学年苏教版必修5高中数学 2.1数列同步练习（解析答案）
2019-2020学年苏教版必修5高中数学 2.1数列同步练习（解析答案）,高三下数学同步练习,莲山课件.
＝2a(a2＋b2－c2)＋2a(a2＋c2－b2)＝a.
答案：a
三、解答题
9．在△ABC中，B＝120°，若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积．
解析：由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2ac·cos B，
即b2＝(a＋c)2－2ac－2ac·2(1)，
∴ac＝3.
故S△ABC＝2(1)acsin B＝2(1)×3×2(3)＝4(3).
10．在△ABC中，∠C＝90°，现以a＋m，b＋m，c＋m(m＞0)为边长作一个△A′B′C′，试判断△A′B′C′的形状．
解析：最大边长c＋m所对角为C′，则
cos C′＝2（a＋m）（b＋m）(（a＋m）2＋（b＋m）2－（c＋m）2)
＝2（a＋m）（b＋m）(（a2＋b2－c2）＋2m（a＋b－c）＋m2)
＝2（a＋m）（b＋m）(2m（a＋b－c）＋m2)＞0，
∴C′为锐角，而C′为△A′B′C′的最大角，故△A′B′C′为锐角三角形．
►能力升级
一、选择题
11．三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2－7x－6＝0的根，则三角形的另一边长为(B)
A．52 B．2
C．16 D．4
解析：设夹角为α，所对的边长为m，则由5x2－7x－6＝0，得(5x＋3)(x－2)＝0，故得x＝－5(3)或x＝2，因此cos α＝－5(3)，于是m2＝52＋32－2×5×3×5(3)＝52，∴m＝2.
12．在不等边三角形中，a为最大边，如果a22＋c2，则A的取值范围是(C)
A．90°B．45°
解析：由余弦定理可知，cos A>0，故知A为锐角，又A是不等边三角形的最大角，故A>60°，
13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则∠B＝(B)
A.6(π) B.3(π)或3(2π)
C.6(π)或6(5π) D.3(π)
解析：由(a2＋c2－b2)tan B＝ac得a2＋c2－b2＝tan B(3ac)，再由余弦定理得：
cos B＝2ac(a2＋c2－b2)＝2tan B(3)，即tan Bcos B＝2(3)，即sin B＝2(3)，∴B＝3(π)或3(2π).
二、填空题
14．在△ABC中，已知∠A＝60°，且最大边长和最小边长恰好是方程x2－7x＋11＝0的两根，则第三边的边长为________．
解析：由∠A＝60°可知，边a既不是最大边，也不是最小边，故知b＋c＝7，b·c＝11，∴a2＝b2＋c2－2bccos 60°＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝49－33＝16，∴a＝4.
答案：4
15．已知△ABC的三边a，b，c，且面积S＝4(a2＋b2－c2)，则角C＝________．
解析：由2(1)absin C＝4(a2＋b2－c2)得a2＋b2－c2＝2absin C，再由余弦定理cos C＝2ab(a2＋b2－c2)得sin C＝cos C，∴C＝4(π).
答案：4(π)
三、解答题
16．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝2，cos C＝4(1).
(1)求△ABC的周长；
(2)求cos(A－C)的值．
解析：(1)∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋4－4×4(1)＝4，∴c＝2.∴△ABC的周长为1＋2＋2＝5.
(2)∵cos C＝4(1)，∴sin C＝＝4(15)，
cos A＝2bc(b2＋c2－a2)＝2×2×2(22＋22－12)＝8(7).
∴sin A＝2(7)＝8(15).
∴cos(A－C)＝cos Acos C＋sin Asin C＝8(7)×4(1)＋8(15)×4(15)＝16(11).
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2019-2020学年苏教版必修5高中数学 2.2等差数列的概念及通项公式练习（解析答案）
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