第十七章勾股定理单元练习
一、选择题
1. 直角三角形的斜边为20cm，两直角边之比为3：4，那么这个直角三角形的周长为（ ）
A. 27cm B. 30cm C. 40cm D. 48cm
2. 已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长为（ ）
A. 4 B. 16 C. D. 4或
3. 如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A. 4
B. 8
C. 16
D. 64
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4. 设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边长为c，已知b=12，c=13，则a=（ ）
A. 1 B. 5 C. 10 D. 25
5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，AC：BC=3：4，则这个直角三角形的面积是（ ）
A. 24 B. 48 C. 54 D. 108
6. E为正方形ABCD内部一点，且AE=3，BE=4，∠E=90°，则阴影部分的面积为（ ）
A. 25 B. 12 C. 13 D. 19
7. 如图：在△ABC中，AB=5cm，AC=4cm，BC=3cm，CD是AB边上的高，则CD=（ ）
A. 5cm
B. cm
C. cm
D. cm
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8. 以下列各组数为一个三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，4 B. 4，6，5 C. 14，13，12 D. 7，25，24
9. 如图，在△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，则BC边上的高AD为（ ）
A. 8 B. 9 C. D. 10
10. 三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（ ）
A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形
11. 以下列各组数据为三角形的三边，能构成直角三角形的是（ ）
A. 4cm，8cm，7cm B. 2cm，2cm，2cm
C. 2cm，2cm，4cm D. 6cm，8cm，10cm
二、填空题
12. 已知|a-6|+（2b-16）2+=0，则以a、b、c为三边的三角形的形状是______．
13. 如图，△ABC中，D为BC上一点，且BD=3，DC=AB=5，AD=4，则AC=______．
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14. 如果三角形的三边分别为，，2，那么这个三角形的最大角的度数为______ ．
15. 如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，则△ABD的面积是______．
16. 已知|x-6|+|y-8|+（z-10）2=0，则由x、y、z为三边的三角形是______．
17. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，将纸片沿AD折叠，直角边AC恰好落在斜边上，且与AE重合，则△BDE的面积为______cm2．
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18. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2cm，AB=3cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△FBE，则点E与点C之间的距离是______cm．
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19. 如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，点D、E都在边BC上，∠DAE=60°．若BD=2CE，则DE的长为______．
20. 将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB=24cm，则阴影部分的面积是______．
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三、计算题
21. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°．
（1）求∠BAC的度数．
（2）若AC=2，求AB的长．
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22. 如图，为了测量池塘的宽度DE，在池塘周围的平地上选择了A、B、C三点，且A、D、E、C四点在同一条直线上，∠C=90°，已测得AB=100m，BC=60m，AD=20m，EC=10m，求池塘的宽度DE．
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23. 如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=，CD=8，AD=10．
（1）求∠BCD的度数；
（2）求四边形ABCD的面积．
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24. 如图，在△ABC中，∠C=90°，在AB边上取一点D，使BD=BC，过D作DE⊥AB交AC于E，AC=8，BC=6．求DE的长．
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25. 如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．
（Ⅰ）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；
（Ⅱ）若AP=，求CF的长．
答案和解析
【答案】
1. D 2. D 3. D 4. B 5. C 6. D 7. B
8. D 9. C 10. C 11. D
12. 直角三角形
13.
14. 90°
15. 15
16. 直角三角形
17. 6
18.
19. 3-3
20. 72cm2
21. 解：（1）∠BAC=180°-60°-45°=75°．
（2）∵AC=2，
∴AD=AC•sin∠C=2×sin45°=；
∴AB===．
22. 解：在Rt△ABC中，
=
=80m
所以DE=AC–AD–EC=80-20-10=50m
∴池塘的宽度DE为50米．
23. 解：（1）连接AC，
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=，
根据勾股定理得：AC==6，∠ACB=45°，
∵CD=8，AD=10，
∴AD2=AC2+CD2，
∴△ACD为直角三角形，即∠ACD=90°，
则∠BCD=∠ACB+∠ACD=135°；
（2）根据题意得：
S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=××+×6×8=9+24=33．
24. 解：在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB==10，（2分）
又∵BD=BC=6，∴AD=AB–BD=4，（4分）
∵DE⊥AB，∴∠ADE=∠C=90°，（5分）
又∵∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，（6分）
∴，（7分）
∴DE==×6=3．（8分）
25. 解：（Ⅰ）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC=90°，
∴DC=AB=6，
∴AC==10，
要使△PCD是等腰三角形，
①当CP=CD时，AP=AC–CP=10-6=4，
②当PD=PC时，∠PDC=∠PCD，
∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°，
∴∠PAD=∠PDA，
∴PD=PA，
∴PA=PC，
∴AP=AC=5，
③当DP=DC时，如图1，过点D作DQ⊥AC于Q，则PQ=CQ，
∵S△ADC=AD•DC=AC•DQ，
∴DQ==，
∴CQ==，
∴PC=2CQ=，
∴AP=AC–PC=10-=；
所以，若△PCD是等腰三角形时，AP=4或5或；
（Ⅱ）方法1、如图2，连接PF，DE，记PF与DE的交点为O，连接OC，
∵四边形ABCD和PEFD是矩形，
∴∠ADC=∠PDF=90°，
∴∠ADP+∠PDC=∠PDC+∠CDF，
∴∠ADP=∠CDF，
∵∠BCD=90°，OE=OD，
∴OC=ED，
在矩形PEFD中，PF=DE，
∴OC=PF，
∵OP=OF=PF，
∴OC=OP=OF，
∴∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，
∵∠OPC+∠OFC+∠PCF=180°，
∴2∠OCP+2∠OCF=180°，
∴∠PCF=90°，
∴∠PCD+∠FCD=90°，
在Rt△ADC中，∠PCD+∠PAD=90°，
∴∠PAD=∠FCD，
∴△ADP∽△CDF，
∴，
∵AP=，
∴CF=．
方法2、如图，
∵四边形ABCD和DPEF是矩形，
∴∠ADC=∠PDF=90°，
∴∠ADP=∠CDF，
∵∠DGF+∠CDF=90°，
∴∠EGC+∠CDF=90°，
∵∠CEF+∠CGE=90°，
∴∠CDF=∠FEC，
∴点E，C，F，D四点共圆，
∵四边形DPEF是矩形，
∴点P也在此圆上，
∵PE=DF，∴，
∴∠ACB=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAP，
∴∠DAP=∠DCF，
∵∠ADP=∠CDF，
∴△ADP∽△CDF，
∴，
∵AP=，
∴CF=．
方法3、如图3，
过点P作PM⊥BC于M交AD于N，
∴∠PND=90°，
∵PN∥CD，
∴，
∴，
∴AN=，
∴ND=8-=（10-）
同理：PM=（10-）
∵∠PND=90°，
∴∠DPN+∠PDN=90°，
∵四边形PEFD是矩形，
∴∠DPE=90°，
∴∠DPN+∠EPM=90°，
∴∠PDN=∠EPM，
∵∠PND=∠EMP=90°，
∴△PND∽△EMP，
∴=，
∵PD=EF，DF=PE．
∴，
∵，
∴，∵∠ADP=∠CDF，
∴△ADP∽△CDF，
∴=，
∵AP=，
∴CF=．
【解析】
1. 解：根据题意设直角边分别为3xcm与4xcm，由斜边为20cm，
根据勾股定理得：（3x）2+（4x）2=202，
整理得：x2=16，
解得：x=4，
∴两直角边分别为12cm，16cm，
则这个直角三角形的周长为12+16+20=48cm．
故选D
根据两直角边之比，设出两直角边，再由已知的斜边，利用勾股定理求出两直角边，即可得到三角形的周长．
此题考查了勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
2. 解：当3和5都是直角边时，第三边长为：=；
当5是斜边长时，第三边长为：=4．
故选：D．
此题要分两种情况：当3和5都是直角边时；当5是斜边长时；分别利用勾股定理计算出第三边长即可．
此题主要考查了利用勾股定理，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．
3. 解：
∵正方形PQED的面积等于225，
∴即PQ2=225，
∵正方形PRGF的面积为289，
∴PR2=289，
又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：
PR2=PQ2+QR2，
∴QR2=PR2–PQ2=289-225=64，
则正方形QMNR的面积为64．
故选D．
根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED的面积和正方形PRQF的面积分别表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR为直角三角形，根据勾股定理求出QR的平方，即为所求正方形的面积．
此题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式．勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决．能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键．
4. 解：∵直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边长为c，b=12，c=13，
∴a===5．
故选B．
直接根据勾股定理即可得出结论．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
5. 解：设AC=3x，则BC=4x，
根据勾股定理有AC2+BC2=AB2，
即（3x）2+（4x）2=152，得：x2=9，
则△ABC的面积=×3x×4x=6x2=54．
故选：C．
设AC=3x，则BC=4x，然后根据勾股定理得到AC2+BC2=AB2，求出x2的值，继而根据三角形的面积公式求出答案．
本题考查勾股定理的知识，难度适中，关键是根据勾股定理公式求出x2的值．
6. 解：∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=3，BE=4，由勾股定理得：AB=5，
∴正方形的面积是5×5=25，
∵△AEB的面积是AE×BE=×3×4=6，
∴阴影部分的面积是25-6=19，
故选D．
根据勾股定理求出AB，分别求出△AEB和正方形ABCD的面积，即可求出答案．
本题考查了正方形的性质，勾股定理的运用，利用勾股定理求出正方形的边长并观察出阴影部分的面积的表示是解题的关键．
7. 解：在△ABC中，∵AB=5cm，AC=4cm，BC=3cm，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°．
根据三角形面积相等可知，
BC•AC=AB•CD，
∴CD==cm．
故选：B．
由题干条件知：AC2+BC2=AB2，根据勾股定理的逆定理可知三角形为直角三角形，根据三角形的面积相等即可求出CD的长．
本题主要考查勾股定理的逆定理的知识点，此题难度一般，利用好勾股定理的逆定理是解答本题的关键．
8. 解：∵72+242=49+576=625=252．
∴如果这组数为一个三角形的三边长，能构成直角三角形．
故选：D．
根据勾股定理的逆定理，对四个选项中的各组数据分别进行计算，如果三角形的三条边符合a2+b2=c2，则可判断是直角三角形，否则就不是直角三角形．
此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握．此题难度不大，属于基础题．
9. 解：∵AB=8，BC=10，AC=6，
∴62+82=102，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
则由面积公式知，S△ABC=AB•AC=BC•AD，
∴AD=．
故选C．
根据所给的条件和勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，再根据三角形的面积相等即可得出BC边上的高．
本题考查了勾股定理的逆定理、三角形面积的计算；由勾股定理的逆定理证出三角形是直角三角形是解决问题的关键．
10. 解：化简（a+b）2=c2+2ab，得，a2+b2=c2所以三角形是直角三角形，
故选：C．
对等式进行整理，再判断其形状．
本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定．
11. 解：A、42+72≠82，故不能构成直角三角形；
B、22+22≠22，故不能构成直角三角形；
C、2+2=4，故不能构成三角形，不能构成直角三角形；
D、62+82=102，故能构成直角三角形．
故选D．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
12. 解：由题意得：a-6=0，2b-16=0，10-c=0，
解得：a=6，b=8，c=10，
∵62+82=102，
∴三角形为直角三角形，
故答案为：直角三角形．
根据非负数的性质可得a-6=0，2b-16=0，10-c=0，再解方程可得a、b、c的值，再利用勾股定理逆定理可得三角形的形状．
此题主要考查了非负数的性质，以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
13. 解：∵BD=3，DC=AB=5，AD=4，
又∵32+42=52，
∴△ABD是直角三角形，
∴△ACD是直角三角形．
∴AC==．
先根据勾股定理的逆定理得出△ABD、△ACD是直角三角形，再根据勾股定理求出AC的长．
本题考查了勾股定理的逆定理及勾股定理，确定∠ADB是直角是解题的关键．
14. 解：∵（）2+22=（）2，
∴此三角形是直角三角形，
∴这个三角形的最大角的度数为90°，
故答案为：90°．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形可得答案．
此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
15. 解：延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△CED中，
，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴CE=AB=5，∠BAD=∠E，
∵AE=2AD=12，CE=5，AC=13，
∴CE2+AE2=AC2，
∴∠E=90°，
∴∠BAD=90°，
即△ABD为直角三角形，
∴△ABD的面积=AD•AB=15，
故答案为：15．
延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE，可证明△ABD≌△CED，所以CE=AB，再利用勾股定理的逆定理证明△CDE是直角三角形即：△ABD为直角三角形，进而可求出△ABD的面积．
本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形，题目的设计很新颖，是一道不错的中考题．
16. 解：∵|x-6|+|y-8|+（z-10）2=0，
∴x-6=0，y-8=0，z-10=0，
解得x=6，y=8，z=10，
∵62+82=102，
∴x2+y2=z2，
∴由x、y、z为三边的三角形是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
根据非负数的性质可得x-6=0，y-8=0，z-10=0，进而可得x=6，y=8，z=10，再根据勾股定理逆定理可得x、y、z为三边的三角形是直角三角形．
此题主要考查了非负数的性质，以及勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
17. 解：∵AC=6cm，BC=8cm，
∴AB=10cm，
∵AE=6cm（折叠的性质），
∴BE=4cm，
设CD=DE=x，则在Rt△DEB中，42+x2=（8-x）2，
解得x=3，
即DE等于3cm．
∴△BDE的面积=×4×3=6，
故答案为：6，
先根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性质求得AE，BE的长，从而利用勾股定理可求得DE的长，于是得到结论．
本题考查了翻折变换（折叠问题），以及利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
18. 解：连接EC，即线段EC的长是点E与点C之间的距离，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：BC===（cm），
∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△FBE，
∴BC=BE，∠CBE=60°，
∴△BEC是等边三角形，
∴EC=BE=BC=cm，
故答案为：．
根据旋转的性质得出BC=BE，∠CBE=60°，得出等边三角形BEC，求出EC=BC，根据勾股定理求出BC即可．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点，能求出△BEC是等边三角形是解此题的关键．
19. 解：（方法一）将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，连接EF，过点E作EM⊥CF于点M，过点A作AN⊥BC于点N，如图所示．
∵AB=AC=2，∠BAC=120°，
∴BN=CN，∠B=∠ACB=30°．
在Rt△BAN中，∠B=30°，AB=2，
∴AN=AB=，BN==3，
∴BC=6．
∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，
∴∠BAD+∠CAE=60°，
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠BAD+∠CAE=60°．
在△ADE和△AFE中，，
∴△ADE≌△AFE（SAS），
∴DE=FE．
∵BD=2CE，BD=CF，∠ACF=∠B=30°，
∴设CE=2x，则CM=x，EM=x，FM=4x–x=3x，EF=ED=6-6x．
在Rt△EFM中，FE=6-6x，FM=3x，EM=x，
∴EF2=FM2+EM2，即（6-6x）2=（3x）2+（x）2，
解得：x1=，x2=（不合题意，舍去），
∴DE=6-6x=3-3．
故答案为：3-3．
（方法二）：将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，取CF的中点G，连接EF、EG，如图所示．
∵AB=AC=2，∠BAC=120°，
∴∠ACB=∠B=∠ACF=30°，
∴∠ECG=60°．
∵CF=BD=2CE，
∴CG=CE，
∴△CEG为等边三角形，
∴EG=CG=FG，
∴∠EFG=∠FEG=∠CGE=30°，
∴△CEF为直角三角形．
∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，
∴∠BAD+∠CAE=60°，
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠BAD+∠CAE=60°．
在△ADE和△AFE中，，
∴△ADE≌△AFE（SAS），
∴DE=FE．
设EC=x，则BD=CF=2x，DE=FE=6-3x，
在Rt△CEF中，∠CEF=90°，CF=2x，EC=x，
EF==x，
∴6-3x=x，
x=3-，
∴DE=x=3-3．
故答案为：3-3．
（方法一）将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，连接EF，过点E作EM⊥CF于点M，过点A作AN⊥BC于点N，由AB=AC=2、∠BAC=120°，可得出BC=6、∠B=∠ACB=30°，通过角的计算可得出∠FAE=60°，结合旋转的性质可证出△ADE≌△AFE（SAS），进而可得出DE=FE，设CE=2x，则CM=x，EM=x、FM=4x–x=3x、EF=ED=6-6x，在Rt△EFM中利用勾股定理可得出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其代入DE=6-6x中即可求出DE的长．
（方法二）将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，取CF的中点G，连接EF、EG，由AB=AC=2、∠BAC=120°，可得出∠ACB=∠B=30°，根据旋转的性质可得出∠ECG=60°，结合CF=BD=2CE可得出△CEG为等边三角形，进而得出△CEF为直角三角形，通过解直角三角形求出BC的长度以及证明全等找出DE=FE，设EC=x，则BD=CF=2x，DE=FE=6-3x，在Rt△CEF中利用勾股定理可得出FE=x，利用FE=6-3x=x可求出x以及FE的值，此题得解．
本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程以及旋转的性质，通过勾股定理找出关于x的一元二次方程是解题的关键．
20. 解：∵∠B=30°，∠ACB=90°，AB=24cm，
∴AC=AB=12cm．
由题意可知BC∥ED，
∴∠AFC=∠ADE=45°，
∴AC=CF=12cm．
故S△ACF=×12×12=72（cm2）．
故答案为：72cm2．
由于BC∥DE，那么△ACF也是等腰直角三角形，欲求其面积，必须先求出直角边AC的长；Rt△ABC中，已知斜边AB及∠B的度数，易求得AC的长，进而可根据三角形面积的计算方法求出阴影部分的面积．
本题考查了含30°角的直角三角形的性质以及解直角三角形，发现△ACF是等腰直角三角形，并能根据直角三角形的性质求出直角边AC的长，是解答此题的关键．
21. （1）根据三角形的内角和是180°，用180°减去∠B、∠C的度数，求出∠BAC的度数是多少即可．
（2）首先根据AC=2，AD=AC•sin∠C，求出AD的长度是多少；然后在Rt△ABD中，求出AB的长是多少即可．
此题主要考查了勾股定理的应用，以及直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．
22. 根据已知条件在直角三角形ACB中，利用勾股定理求得AC的长，用AC减去AD、CE求得DE即可．
本题考查了勾股定理的应用，将数学知识与生活实际联系起来，是近几年中考重点考点之一．
23. 此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
（1）连接AC，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AC的长，再由CD与AD的长，利用勾股定理的逆定理判断得到三角形ACD为直角三角形，再由等腰直角三角形的性质，根据∠BCD=∠ACB+∠ACD即可求出；（2）四边形ABCD面积=三角形ABC面积+三角形ACD面积，求出即可．
24. 依题意易证△AED∽△ABC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求出DE的长．
本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形对应边成比例．
25. （Ⅰ）先求出AC，再分三种情况讨论计算即可得出结论；
（Ⅱ）方法1、先判断出OC=ED，OC=PF，进而得出OC=OP=OF，即可得出∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，最后判断出△ADP∽△CDF，得出比例式即可得出结论．
方法2、先判断出∠CEF=∠FDC，得出点E，C，F，D四点共圆，再判断出点P也在此圆上，即可得出∠DAP=∠DCF，此后同方法1即可得出结论．
方法3、先判断出△PME∽△DNP即可得出，进而用两边对应成比例夹角相等判断出△ADP∽△CDF，得出比例式即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解（Ⅰ）的关键是分三种情况讨论计算，解（Ⅱ）的关键是判断出△ADP∽△CDF，是一道中考常考题．
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