人教版高三数学 平面向量基本定理 教案

课题名称：  2．3.1 平面向量基本定理

课程模块及章节：  第二章                  

教学背景分析

1.了解基底的含义，理解平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量．(重点)

 2.掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义．(难点)

3.两个向量的夹角与两条直线所成的角．(易混点)

教学目标

通过作图，归纳得出平面向量基本定理

教学重点和难点

重点：平面向量的基本定理

难点：平面向量基本定理的理解与应用

教学准备、教学资源和主要教学方法

问题学习法、自主学习与合作探究相结合。

教学过程  

教学环节

教师为主的活动

学生为主的活动

设计意图

导入新课

1．基底向量具有哪些特征？

【提示】 不共线，不唯一．

2．如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？

【提示】 不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示．

学生思考、回答。

创设情境，激发学生的求知欲。

目标引领

把目标板书在黑板的右上角，并引领学生进行解读。

一起朗读目标。

以目标引领学习的全过程。

活动导学

1．定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

2．基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

【问题导思】 

平面中的任意两个向量都可以平移至起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？

【提示】 存在夹角，不一样．

1. 夹角：已知两个非零向量a和b，作→(OA)＝a，→(OB)＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角(如图2－3－1所示)．

图2－3－1

(1)范围：向量a与b的夹角的范围是0°≤θ≤180°.

(2)当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向．

2．垂直：如果a与b的夹角是90°，

则称a与b垂直，记作a⊥b.

例1.如图所示，已知▱ABCD中，E、F分别是BC、DC边上的中点，若→(AB)＝a，→(AD)＝b，试以a、b为基底表示→(DE)、→(BF).

图2－3－2

【思路探究】 →→→

【自主解答】 ∵四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、DC边上的中点，

∴→(AD)＝→(BC)＝2→(BE)，→(BA)＝→(CD)＝2→(CF)，

∴→(BE)＝2(1)→(AD)＝2(1)b，→(CF)＝2(1)→(BA)＝－2(1)→(AB)＝－2(1)a.

∴→(DE)＝→(DA)＋→(AB)＋→(BE)

＝－→(AD)＋→(AB)＋→(BE)

＝－b＋a＋2(1)b＝a－2(1)b，

→(BF)＝→(BC)＋→(CF)＝→(AD)＋→(CF)＝b－2(1)a.

学生阅读课本。

学生自己动手尝试。

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学生自己动手尝试。

当堂评价

1．下列关于基底的说法正确的是(  )

①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；

②基底中的向量可以是零向量；

③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．

A．①    B．②   C．①③    D．②③

【解析】 零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故②错，①③正确．

【答案】 C

2．在等边三角形ABC中，→(AB)与→(BC)的夹角等于(  )

A．60°B．90°

C．120°D．150°

【解析】 由向量夹角定义知，→(AB)与→(BC)的夹角为120°.

【答案】 C

课堂小结：

1.基底的含义，平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量．

2.掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义．

3.两个向量的夹角与两条直线所成的角．

学生合作交流。

学生自己检测自己的学习效果。

通过练习让学生巩固新知，达成目标。

板书设计

2．3.1 平面向量基本定理

平面向量基本定理          例1   

两个向量夹角的定义

教学反思