专题1 二次函数
题型一 二次函数的图象和性质
例 1 对于抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3，有下列四个结论：①它的对称轴为x ＝1；
②它的顶点坐标为(1，4)；
③它与y 轴的交点坐标为(0，3)，与x 轴的交点坐标为(－1，0)和(3，0)；
④当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．
其中正确的个数为( C )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解析】 ①对称轴为
，∴①正确；②y ＝－x
2
＋2x ＋3＝－(x －1)
2
＋4，∴它的顶点坐标为(1，4)，∴②正确；③y ＝－x
2
＋2x ＋3，当x ＝0时，y ＝3，当y ＝0时，－x
2
＋2x ＋3＝0，x 1＝－1，x
2
＝3，∴y ＝－x
2
＋2x ＋3与y 轴的交点坐标为(0，3)，与x 轴的交点坐标为(－1，0)和(3，0)，∴③正确；④∵a ＝－1＜0，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，∴④错误．故正确的选项有①②③三个．
【点悟】 二次函数的性质，常常从对称轴、顶点坐标、最大值(最小值)，增减性等角度分析．
变式跟进
1．小张同学说出了二次函数的两个条件：
(1)当x ＜1时，y 随x 的增大而增大；
(2)函数图象经过点(－2，4)．
则符合条件的二次函数表达式可以是( D )
A ．y ＝－(x －1)2－5
B ．y ＝2(x －1)2－14
C ．y ＝－(x ＋1)2＋5
D ．y ＝－(x －2)2＋20
2．求下列函数的图象的对称轴、顶点坐标及与x 轴的交点坐标．
(1)y ＝4x 2＋24x ＋35；
(2)y ＝－3x 2＋6x ＋2；
(3)y ＝x 2－x ＋3；
(4)y ＝2x 2＋12x ＋18.
解：(1)∵y ＝4x 2＋24x ＋35，
∴对称轴是直线x ＝－3，顶点坐标是(－3，－1)，
解方程4x 2＋24x ＋35＝0，得x 1＝－52，x 2＝－72， 故它与x 轴交点坐标是
(2)∵y ＝－3x 2＋6x ＋2，
∴对称轴是直线x ＝1，顶点坐标是(1，5)，
解方程－3x 2＋6x ＋2＝0，
解方程x 2－x ＋3＝0，无解，故它与x 轴没有交点；
(4)∵y ＝2x 2＋12x ＋18，
∴对称轴是直线x ＝－3，顶点坐标是(－3，0)，
当y ＝0时，2x 2＋12x ＋18＝0，∴x 1＝x 2＝－3，
∴它与x 轴的交点坐标是(－3，0)．
题型二 二次函数的平移
例 2 将抛物线y ＝－2x 2＋1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线表达式为( C )
A ．y ＝－2(x ＋1)2
B ．y ＝－2(x ＋1)2＋2
C ．y ＝－2(x －1)2＋2
D ．y ＝－2(x －1)2＋1
【点悟】
二次函数图象的平移实质上是顶点位置的变化，只要确定平移前、后的顶点坐标，就可以确定抛物线的平移规律．
变式跟进
3．将抛物线y ＝2x 2＋4x －5的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线表达式是( C )
A ．y ＝2(x ＋1)2－7
B ．y ＝2(x ＋1)2－6
C ．y ＝2(x ＋3)2－6
D ．y ＝2(x －1)2－6
题型三 二次函数与一元二次方程和不等式的关系
例 3 [2016·宁夏]若二次函数y ＝x 2－2x ＋m 的图象与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是__m ＜1__．
【解析】 ∵二次函数y ＝x 2－2x ＋m 的图象与x 轴有两个交点，∴Δ＞0，∴4－4m ＞0，∴m ＜1.
【点悟】 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴的交点的横坐标x 1，x 2，就是方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根，判断抛物线与x 轴是否有交点，只要判断b 2－4ac 与0的大小即可．
变式跟进
4．已知二次函数y ＝x 2－2x ＋m (m 为常数)的图象与x 轴的一个交点为(－1，0)，则关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0的两个实数根是( D )
A ．x 1＝1，x 2＝2
B ．x 1＝1，x 2＝3
C ．x 1＝－1，x 2＝2
D ．x 1＝－1，x 2＝3
【解析】 二次函数y ＝x 2－2x ＋m (m 为常数)的对称轴是x ＝1，(－1，0)关于x ＝1的对称点是(3，0)．则一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0的两个实数根是x 1＝－1，x 2＝3.
5．[2017·高邮二模]如图1，二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c 与一次函数y 2＝kx 的图象交于点A 和原点O ，点A 的横坐标为－4，点A 和点B 关于抛物线的对称轴对称，点B 的横坐标为1，则满足0＜y 1＜y 2的x 的取值范围是__－4＜x ＜－3__．
图1 第5题答图
【解析】 如答图所示，∵点A 的横坐标为－4，点A 和点B 关于抛物线的对称轴对称，点B 的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为x ＝，
∵二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c 与一次函数y 2＝kx 的图象交于点A 和原点O ，∴C 点坐标为(－3，0)，则满足0＜y 1＜y 2的x 的取值范围是－4＜x ＜－3.
题型四 二次函数的图象与系数之间的关系
例 4 如图2，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交于点A (－1，0)，与y 轴的交点B 在(0，－2)和(0，－1)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x ＝1.下列结论：
①abc ＞0； ②4a ＋2b ＋c ＞0；
③4ac －b 2＜8a ； ④13＜a ＜23； ⑤b ＞c .
其中含所有正确结论的选项是( D）
图2
A ．①③
B ．①③④
C ．②④⑤
D ．①③④⑤
【解析】 ①∵函数开口方向向上，∴a ＞0，∵对称轴在原点右侧，∴ab 异号，∵抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴，∴c ＜0，∴abc ＞0，故①正确；
②∵图象与x 轴交于点A (－1，0)，对称轴为直线x ＝1，∴图象与x 轴的另一个交点为(3，0)，
∴当x ＝2时，y ＜0，∴4a ＋2b ＋c ＜0，故②错误；
③∵图象与x 轴交于点A (－1，0)，∴当x ＝－1时，y ＝(－1)2a ＋b ×(－1)＋c ＝0，∴a －b ＋c ＝0，即a ＝b －c ，c ＝b －a ，∵对称轴为直线x ＝1，∴，即b ＝－2a ，∴c ＝b －a ＝(－2a )－a ＝－3a ，∴4ac －b 2＝4a (－3a )－(－2a )2＝－16a 2＜0.∵8a ＞0，∴4ac －b 2＜8a ，故③正确；
④∵图象与y 轴的交点B 在(0，－2)和(0，－1)之间，∴－2＜c ＜－1，∴－2＜－3a ＜－1，∴，故④正确；
⑤∵a ＞0，∴b －c ＞0，即b ＞c ，故⑤正确．
【点悟】 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；|a |还可以决定开口大小，|a |越大开口就越小．②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置．当a 与b 同号时(即ab ＞0)，对称轴在y 轴左侧；当a 与b 异号时(即ab ＜0)，对称轴在y 轴右侧(简称：左同右异)．③常数项c 决定抛物线与y 轴交点，抛物线与y 轴交于(0，c )．
变式跟进
6．[2016·孝感]如图3是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n )，且与x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：
①a －b ＋c >0； ②3a ＋b ＝0； ③b 2＝4a (c －n )；
④一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根．
其中正确结论的个数是( C）
图3
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解析】 ∵抛物线与x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间，而抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点(－2，0)和(－1，0)之间．
∴当x ＝－1时，y ＞0，即a －b ＋c ＞0，∴①正确；
∵抛物线的对称轴为直线，即b ＝－2a ，∴3a ＋b ＝3a －2a ＝a ，∴②错误；
∵抛物线的顶点坐标为(1，n )，∴ ，∴b 2＝4ac －4an ＝4a (c －n )，∴③正确； ∵抛物线与直线y ＝n 有一个公共点，∴抛物线与直线y ＝n －1有2个公共点，∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根，∴④正确．
题型五 二次函数的实际应用
例 5 [2016·潍坊]旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x (元)是5的倍数，发现每天的运营规律如下：当x 不超过100元时，观光车能全部租出；当x 超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆，已知所有观光车每天的管理费是1 100元．
(1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？(注：净收入＝租车收入－管理费)
(2)当每辆车的日租金为多少时，每天的净收入最多？
解：(1)由题意知，若观光车能全部租出，则0≤x ≤100，由50x －1 100＞0，解得x ＞22，
∵x 是5的倍数，∴每辆车的日租金至少为25元；
(2)设每天的净收入为y 元，当0≤x ≤100时，y 1＝50x －1 100，∵y 1随x 的增大而增大，∴当x ＝100时，y 1的最大值为50×100－1 100＝3 900.
当x ＞100时，
100＝－15x 2＋70x －1 100＝－15(x －175)2＋5 025. 当x ＝175时，y 2的最大值是5 025，∵5 025＞3 900，
∴当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多，最多收入是5 025元．
【点悟】 应用二次函数解决实际问题中的最优化问题，实际上就是求函数的最大值(或最小值)．解题时，要先根据题目提供的条件确定函数关系式，并将它配成顶点式，y ＝a (x －h )2＋k ，再根据二次函数的性质确定最大值或最小值．
变式跟进
7．[2016·杭州]把一个足球垂直水平地面向上踢，时间t (s)与该足球距离地面的高度h (m)适用公式h ＝20t －5t 2(0≤t ≤4)．
(1)当t ＝3时，求足球距离地面的高度；
(2)当足球距离地面的高度为10 m 时，求t 的值；
(3)若存在实数t 1，t 2(t 1≠t 2)，当t ＝t 1或t 2时，足球距离地面的高度都为m (m)，求m 的取值范围． 解：(1)当t ＝3时，h ＝20t －5t 2＝15(m)，
∴此时足球离地面的高度为15 m ；
(2)∵h ＝10，∴20t －5t 2＝10，
(3)∵m ≥0，由题意得t 1和t 2是方程20t －5t 2＝m 的两个不相等的实数根，
∴b 2－4ac ＝202－20m ＞0，解得m ＜20，
∴m 的取值范围是0≤m ＜20.
题型六 二次函数的综合题
例 6 [2017·浙江月考]如图4，抛物线的顶点为A ，与x 轴的正半轴交于点B .
(1)将抛物线C 1上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，求变换后得到的抛物线的表达式；
(2)将抛物线C 1上的点(x ，y )变为(kx ，ky )(|k |＞1)，变换后得到的抛物线记作C 2，抛物线C 2的顶点为C ，求抛物线C 2的表达式(用k 表示)；
(3)在(2)条件下，点P 在抛物线C 2上，满足S △PAC ＝S △ABC ，且∠ACP ＝90°.当k ＞1时，求k 的值．
图4 例6答图
解：
∴抛物线C 1经过原点O ，点A (1， )和点B (2，0)三点，
2. 变式跟进
8．[2017·诸城校级月考]如图5，在矩形OABC 中，OA ＝5，AB ＝4，点D 为边AB 上一点，将△BCD 沿直线CD 折叠，使点B 恰好落在OA 边上的点E 处，分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴，
y 轴建立平面直角坐标系．
图5
(1)求OE 的长；
(3)一动点P 从点C 出发，沿CB 以每秒2 个单位长的速度向点B 运动，同时动点Q 从E 点出发，沿EC 以每秒1个单位长的速度向点C 运动，当点P 到达点B 时，两点同时停止运动．设运动时间为t s ，当t 为何值时，DP ＝DQ .
1．已知，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图1所示，则以下说法不正确的是(C）
图1
A ．根据图象可得该函数y 有最小值
B ．当x ＝－2时，函数y 的值小于0
C ．根据图象可得a ＞0，b ＜0
D ．当x ＜－1时，函数值y 随着x 的增大而减小
【解析】 由图象可知：A.抛物线开口向上，该函数y 有最小值，此选项正确；B.当x ＝－2时，图象在x 轴的下方，函数值小于0，此选项正确；C.对称轴为x ＝－1，a ＞0，则b ＞0，此选项错误；D.当x ＜－1时，y 随x 的增大而减小，此选项正确．
2．抛物线y ＝(x ＋2)2－1可以由抛物线y ＝x 2
平移得到，下列平移方法中正确的是( B )
A ．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位
B ．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
C ．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
D ．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
【解析】 ∵函数y ＝x 2的图象沿x 轴向左平移2个单位长度，得y ＝(x ＋2)2；然后y 轴向下平移1个单位长度，得y ＝(x ＋2)2－1，故选B.
3．一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( C
A B C D
4．如图2，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交于点A (－1，0)，其对称轴为直线x ＝1，下列结论中正确的是( D）
图2
A ．abc ＞0
B ．2a －b ＝0
C ．4a ＋2b ＋c ＜0
D ．9a ＋3b ＋c ＝0
【解析】 ∵抛物线的开口向下，则a ＜0，对称轴在y 轴的右侧，∴b ＞0，图象与y 轴交于正半轴上，∴c ＞0，∴abc ＜0；∵对称轴为x ＝1，∴，∴－b ＝2a ，∴2a ＋b ＝0；当x ＝2时，4a ＋2b ＋c ＞0；当x ＝3时，9a ＋3b ＋c ＝0.
5．已知二次函数y ＝3x 2＋36x ＋81.
(1)写出它的顶点坐标；
(2)当x 取何值时，y 随x 的增大而增大；
(3)求出图象与x 轴的交点坐标；
(4)当x 取何值时，y 有最小值，并求出最小值；
(5)当x 取何值时，y ＜0.
解：(1)∵y ＝3x 2＋36x ＋81＝3(x ＋6)2－27，
∴顶点坐标为(－6，－27)；
(2)∵抛物线的对称轴为x ＝－6，且抛物线的开口向上，
∴当x ＞－6时，y 随x 的增大而增大；
(3)当3x 2
＋36x ＋81＝0时，得x 1＝－3，x 2＝－9，
∴该函数图象与x 轴的交点为(－9，0)，(－3，0)；
(4)∵抛物线的顶点坐标为(－6，－27)，
∴当x ＝－6时，y 有最小值，最小值为－27；
(5)∵该函数图象与x 轴的交点为(－9，0)，(－3，0)，且抛物线的开口向上， ∴当－9＜x ＜－3时，y ＜0.
6．已知二次函数的图象以A (－1，4)为顶点，且过点B (2，－5)．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)求该二次函数图象与y 轴的交点坐标．
解：(1)由顶点A (－1，4)，可设二次函数关系式为y ＝a (x ＋1)2＋4(a ≠0)． ∵二次函数的图象过点B (2，－5)，
∴－5＝a (2＋1)2＋4，解得a ＝－1.
∴二次函数的关系式是y ＝－(x ＋1)2＋4；
(2)令x ＝0，则y ＝－(0＋1)2＋4＝3，
∴图象与y 轴的交点坐标为(0，3)．
7．如图3，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A (－1，0)，B (3，0)两点．
图3
(1)求抛物线的表达式和顶点坐标；
(2)当0＜x ＜3时，求y 的取值范围；
(3)点P 为抛物线上一点，若S △PAB ＝10，求出此时点P 的坐标．
解：(1)把A (－1，0)，B (3，0)分别代入y ＝x 2＋bx ＋c 中，
得
∴抛物线表达式为y ＝x 2－2x －3.
∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，
∴顶点坐标为(1，－4)；
(2)由图可得当0＜x ＜3时，－4≤y ＜0；
(3)∵A (－1，0)，B (3，0)，∴AB ＝4.
设P (x ，y )，则S △PAB ＝12
AB ·|y |＝2|y |＝10， ∴|y |＝5，∴y ＝±5.
①当y ＝5时，x 2－2x －3＝5，解得x 1＝－2，x 2＝4，
此时P 点坐标为(－2，5)或(4，5)；
②当y ＝－5时，x 2－2x －3＝－5，方程无解．
综上所述，P 点坐标为(－2，5)或(4，5)．
8．如图4，在一面靠墙的空地上用长为24 m 的篱笆围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB 为x m ，面积为S m 2.
(1)求S 与x 的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)已知墙的最大可用长度为8 m ，
①求所围成花圃的最大面积；
②若所围花圃的面积不小于20 m 2，请直接写出x 的取值范围．
图4
解：(1)S ＝x (24－4x )＝－4x 2＋24x (0＜x ＜6)；
(2)①S ＝－4x 2＋24x ＝－4(x －3)2＋36，
由24－4x ≤8，24－4x ＞0，解得4≤x ＜6，
当x ＝4时，花圃有最大面积为32；
②令－4x 2＋24x ＝20时，解得x 1＝1，x 2＝5，
∵墙的最大可用长度为8，即24－4x ≤8，
∴x ≥4，∴4≤x ≤5.
9．[2017·三原校级月考]东方小商品市场一经营者将每件进价为80元的某种小商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种小商品单价每降低1元，其销量可增加10件．
(1)该经营者经营这种商品原来一天可获利润__2__000__元；
(2)若设后来该小商品每件降价x 元，该经营者一天可获利润y 元．
①若该经营者经营该商品一天要获利润2 090元，求每件商品应降价多少元？
②求出y 与x 之间的函数关系式，并求出当x 取何值时，该经营者所获利润最大，且最大利润为多少元？ 解：(1)若商店经营该商品不降价，则一天可获利润：100×(100－80)＝2 000(元)；
(2)①设该商品每件降价x 元，依题意，得(100－80－x )(100＋10x )＝2 090，
即x 2－10x ＋9＝0，解得x 1＝1，x 2＝9.
答：每件商品应降价1元或9元；
②根据题意得y ＝(100－80－x )(100＋10x )
＝－10x 2＋100x ＋2 000，
当x ＝－b 2a＝5时，y 最大＝2 250元， 答：该经营者所获最大利润为2 250元．
10．[2016·泰安]如图6，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标为(2，9)，与y 轴交于点A (0，5)，与x 轴交于点E ，B.
图6
(1)求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的表达式；
(2)过点A 作AC 平行于x 轴，交抛物线于点C ，点P 为抛物线上的一点(点P 在AC 上方)，作PD 平行于y 轴交AB 于点D ，问当点P 在何位置时，四边形APCD 的面积最大？并求出最大面积．
解：(1)设抛物线的表达式为y ＝a (x －2)2＋9，
把A (0，5)代入得4a ＋9＝5，解得a ＝－1，
∴y ＝－(x －2)2＋9＝－x 2＋4x ＋5；
(2)当y ＝0时，－x 2＋4x ＋5＝0，
解得x 1＝－1，x 2＝5，∴E (－1，0)，B (5，0)，
设直线AB 的表达式为y ＝mx ＋n ，
把A (0，5)，B (5，0)代入，得m ＝－1，n ＝5，
∴y ＝－x ＋5，
设P (x ，－x 2＋4x ＋5)，则D (x ，－x ＋5)，PD ＝－x 2＋4x ＋5＋x －5＝－x 2＋5x ，∵AC ＝4，
∴四边形APCD 的面积＝ ，
当时，四边形APCD 的面积最大，最大面积为.
11．[2017·双台子区校级一模]如图7，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A ，B (3，0)两点，与y 轴交于c (0，－3)，点P 是直线BC 下方抛物线上的动点．
(1)求出二次函数的表达式；
….
图7
(2)连结PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP ′C ，那么是否存在点P ，使得四边形POP ′C 为菱形？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)当点P 运动到什么位置时，四边形ACPB 的面积最大？求出此时P 的坐标和四边形ACPB 的最大面积． 解：(1)把B (3，0)，C (0，－3)代入y ＝x 2＋bx ＋c ，
∴这个二次函数的表达式为y ＝x 2－2x －3；
(2)存在．理由如下：
如答图①，作OC 的垂直平分线交直线BC 下方的抛物线于点P ，垂足为点E .则PO ＝PC ，
∵△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP ′C ，
∴OP ′＝OP ，CP ′＝CP ，∴OP ′＝OP ＝CP ′＝CP ，
∴四边形POP ′C 为菱形，∵C 点坐标为(0，－3)，
∴E 点坐标为，∴点P 的纵坐标为－32， 把y ＝代入y ＝x 2－2x －3，得 x 2－2x －3＝－32，解得，
∵点P 在直线BC 下方的抛物线上，
∴，
∴满足条件的点P 的坐标为
第11题答图① 第11题答图②
(3)如答图②，作PF ⊥x 轴于点F ，交BC 于点E ，BC 的表达式为y ＝x －3，设E (m ，m －3)，P (m ，m 2－2m －3)．
则PE ＝m －3－(m 2－2m －3)＝－m 2＋3m ＝，
S △BCP ＝S △BEP ＋S △CEP
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