29.1.2 正投影
基础训练
知识点1 正投影的定义
1.球的正投影是( )
A.圆 B.椭圆 C.点 D.圆环
2.如图,水杯的杯口与投影面平行,投影线的方向如箭头所示,它的正投影是( )
3.把一个正五棱柱如图摆放,当投影线由正前方射到后方时,它的正投影是( )
4.下列投影中,正投影有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.如图所示的圆台的上、下底面与投影线平行,此圆台的正投影是( )
A.矩形 B.两条线段
C.等腰梯形 D.圆环
6.如图,箭头表示投影线的方向,则图中圆柱体的正投影是( )
A.圆 B.圆柱 C.梯形 D.矩形
7.小乐用一块长方形硬纸板在阳光下做投影实验,通过观察,发现这块长方形硬纸板在平整的地面上不可能出现的投影是( )
A.三角形 B.线段
C.矩形 D.正方形
知识点2 正投影的性质
8.几何体在平面P的正投影,取决于( )
①几何体形状;②几何体与投影面的位置关系;③投影面P的大小.
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
9.当棱长为20 cm的正方体的某个面平行于投影面时,这个面的正投影的面积为( )
A.20 cm2 B.300 cm2
C.400 cm2 D.600 cm2
10.一根笔直的小木棒(记为线段AB),它的正投影为线段CD,则下列各式中一定成立的是( )
A.AB=CD B.AB≤CD
C.AB>CD D.AB≥CD
11.如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影,则该圆锥的侧面积是 .
12.如图,请用平行投影的方法画出圆柱的正投影.
提升训练
考查角度1 利用正投影的性质求影长(转化思想)
13.已知一根长为8 cm的木棒AB与投影面平行,投影线垂直于投影面.
(1)求此时的影子A1B1的长度;
(2)如图是将木棒绕其端点A逆时针旋转30°后的示意图(此时平面ABB2A2垂直于投影面),求旋转后木棒的影长A2B2.
考查角度2 利用解直角三角形求正投影的面积
14.已知一纸板的形状为正方形ABCD,且边长为10 cm.如图,四边形A1B1C1D1是正方形ABCD在面β上的正投影,AD,BC与投影面β平行,且AB,CD与投影面β成30°角,求正方形ABCD的正投影的面积.
探究培优
拔尖角度1 利用投影的定义探究几何中的投影问题
15.操作与研究:
如图,△ABC被平行光线照射,CD⊥AB于D,AB在投影面上.
(1)指出图中AC的投影是什么,CD与BC的投影呢?
(2)探究:当△ABC为直角三角形(∠ACB=90°)时,易得AC2=AD·AB,此时有如下结论:直角三角形一直角边的平方等于它在斜边射影与斜边的乘积,这一结论我们称为射影定理.
通过上述结论的推理,请证明以下两个结论:
①BC2=BD·AB;②CD2=AD·BD.
拔尖角度2 利用投影的定义进行方案设计
16.如图,某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼,该居民楼的一楼是高6 m的小区超市,超市以上是居民住房.在该楼的前面15 m处要盖一栋高20 m的新楼,当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时,
(1)问:超市以上的居民住房的采光是否有影响?
(2)若要使超市采光不受影响,两楼应至少相距多少米?
结果保留整数,参考数据:sin 32°≈,cos 32°≈,tan 32°≈
参考答案
1.【答案】A 2.【答案】D 3.【答案】B 4.【答案】B
5.【答案】C
解：根据正投影的性质可知,该几何体的正投影应为等腰梯形.
6.【答案】D
解：当投影线与圆柱的底面平行时,它的正投影为矩形.
7.【答案】A 8.【答案】A 9.【答案】C
10.【答案】D 11.【答案】π
12.错解:如图①所示.
剖析:错解的原因是没有正确理解正投影的含义.圆柱的正投影是平行光线下的投影,投影线与投影面是垂直的,所以投影后是矩形(最大截面).由于上、下底面与投影面垂直,故其正投影为两条线段,不可能是圆.
正解:如图②所示.
13.分析:(1)当木棒平行于投影面时,其正投影的长度与木棒的长度一致;(2)当木棒倾斜于投影面时,可转化为解直角三角形来求解.
解:(1)因为木棒平行于投影面,
所以A1B1=AB=8 cm,
即此时的影子A1B1的长度为8 cm.
(2)如图,过点A作AH⊥BB2于点H.
因为AA2⊥A2B2,BB2⊥A2B2,
所以四边形AA2B2H为矩形,
所以AH=A2B2.
在Rt△ABH中,∠BAH=30°,AB=8 cm,
所以A2B2=AH=AB·cos 30°=8×=4(cm).
即旋转后木棒的影长A2B2为4cm.
14.解:如图,过点A作AH⊥BB1于点H.依题意,得∠BAH=30°,四边形A1B1C1D1是矩形,其中A1D1=AD=B1C1=BC,A1B1=C1D1=AH.
∵AH⊥BB1,∠BAH=30°,
∴AH=AB·cos 30°=10×=5(cm),
∴A1B1=AH=5cm.
∵A1D1=AD=10 cm,
∴=A1B1·A1D1=5×10=50(cm2).
则正方形ABCD的正投影的面积是50cm2.
规律总结:求投影的面积,先确定投影的形状,再根据相应的面积公式,有针对性地求出相关线段的长.
15.(1)解:AC的投影是AD,CD的投影是点D,BC的投影是BD.
(2)证明:易证得△BCD∽△BAC,可得BC2=BD·AB;易证得△ACD∽△CBD,可得CD2=AD·BD.
16.解:(1)如图,设CE=x m,则AF=(20-x)m.
∵tan 32°=,即20-x=15·tan 32°,
∴x≈11.
∵11>6,∴超市以上的居民住房的采光有影响.
(2)当tan 32°=时,BC≈20×=32(m),
∴若要使超市采光不受影响,两楼应至少相距32 m.
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