20 单元测试卷
时间：90分钟 满分150分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知A(1,2)，B(3,4)，C(－2,2)，D(－3,5)，则向量→(AB)在向量→(CD)上的投影为( )
A.5(10) B.5(10)
C.5(10) D.5(10)
答案：B
解析：→(AB)＝(2,2)，→(CD)＝(－1,3)，|→(CD)|＝，→(AB)·→(CD)＝－2＋6＝4，向量→(AB)在向量→(CD)上的投影为|(CD)＝10(4)＝5(10)，故选B.
2．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝( )
A．5 B．25
C. D.
答案：A
解析：因为|a＋b|＝5，所以a2＋2a·b＋b2＝50，即5＋2×10＋b2＝50，所以|b|＝5.
3．已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1，－2)，则c＝( )
A．－2(1)a－2(3)b B．－2(1)a＋2(3)b
C.2(3)a－2(1)b D．－2(3)a＋2(1)b
答案：D
4．若非零向量a，b满足|a－b|＝|b|，则( )
A．|2b|＞|a－2b| B．|2b|＜|a－2b|
C．|2a|＞|2a－b| D．|2a|＜|2a－b|
答案：A
5．已知平面上不共线的四点O、A、B、C.若→(OA)－4→(OB)＋3→(OC)＝0，则|(CB)＝( )
A.3(1) B.2(1)
C．2 D．3
答案：D
解析：∵→(OA)－4→(OB)＋3→(OC)＝0，
∴(→(OA)－→(OB))－3→(OB)＋3→(OC)＝0，即→(OA)－→(OB)＝3(→(OB)－→(OC))，
∴→(BA)＝3→(CB)，
∴|(CB)＝3.
6．在△ABC中，若|→(AB)|＝1，|→(AC)|＝，|→(AB)＋→(AC)|＝|→(BC)|，则|(BC)＝( )
A．－2(3) B．－2(1)
C.2(1) D.2(3)
答案：B
解析：由向量的平行四边形法则，知当|→(AB)＋→(AC)|＝|→(BC)|时，∠A＝90°.又|→(AB)|＝1，|→(AC)|＝，故∠B＝60°，∠C＝30°，|→(BC)|＝2，所以|(BC)＝|(BC)＝－2(1).
7．已知a＝(3,4)，b＝(－1,2m)，c＝(m，－4)，满足c⊥(a＋b)，则m＝( )
A．－3(8) B.3(8)
C.3(4) D．－3(4)
答案：A
解析：a＋b＝(2,4＋2m)，c⊥(a＋b)⇒c·(a＋b)＝(m，－4)·(2,4＋2m)＝2m－4(4＋2m)＝0，解得m＝－3(8).
8．已知平面向量a＝(1，)，|a－b|＝1，则|b|的取值范围是( )
A．[0,1] B．[1,3]
C．[2,4] D．[3,4]
答案：B
解析：由于＝1，所以向量b对应的点在以(1，)为圆心，1为半径的圆上，由于圆心到原点的距离为2，所以的取值范围是[1,3]．
9．已知向量→(OA)＝(2,2)，→(OB)＝(4,1)，在x轴上的一点P使→(AP)·→(BP)取得最小值，则点P的坐标为( )
A．(3,0) B．(－3,0)
C．(2,0) D．(4,0)
答案：A
解析：设P(x,0)，则→(AP)＝(x－2，－2)，→(BP)＝(x－4，－1)，
∴→(AP)·→(BP)＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
∴当x＝3时，→(AP)·→(BP)取得最小值，此时P(3,0)．
10．已知O是三角形ABC所在平面内一点，且满足→(BA)·→(OA)＋|→(BC)|2＝→(AB)·→(OB)＋|→(AC)|2，则O点( )
A．在过点C且垂直于AB的直线上
B．在∠C平分线所在的直线上
C．在AB边中线所在的直线上
D．是△ABC的外心
答案：A
解析：由题意有→(AB)·→(OB)＋→(AB)·→(OA)＋→(CA)2－→(CB)2＝0.
即→(AB)·→(OB)＋→(AB)·→(OA)＋(→(CA)－→(CB))·(→(CA)＋→(CB))
＝→(AB)·(→(OA)＋→(OB)－→(CO)－→(OA)－→(CO)－→(OB))＝－2→(AB)·→(OC)＝0，
所以→(OC)⊥→(AB).
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．
11．若向量→(OA)＝(1，－3)，|→(OB)|＝|→(OA)|，→(OA)·→(OB)＝0，则|→(AB)|＝________.
答案：2
解析：因为|→(AB)|2＝|→(OB)－→(OA)|2＝|→(OB)|2＋|→(OA)|2－2→(OA)·→(OB)＝10＋10－0＝20，所以|→(AB)|＝＝2.
12．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，a＋b＝(，1)，则向量a＋b与向量a－b的夹角是________．
答案：3(2π)
解析：因为|a－b|2＋|a＋b|2＝2|a|2＋2|b|2，所以|a－b|2＝2|a|2＋2|b|2－|a＋b|2＝2＋6－4＝4，故|a－b|＝2，因为cos〈a－b，a＋b〉＝|a－b|·|a＋b|((a－b)·(a＋b))＝4(1－3)＝－2(1)，故所求夹角是3(2π).
13．已知在△ABC中，向量→(AB)与→(BC)的夹角为6(5π)，|→(AC)|＝2，则|→(AB)|的取值范围是________．
答案：(0,4]
解析：∵|→(AC)|＝|→(AB)＋→(BC)|＝6(5π)，∴|→(AB)|2＋|→(BC)|2－|→(AB)||→(BC)|＝4，把|→(BC)|看作未知量，得到一个一元二次方程|→(BC)|2－|→(AB)||→(BC)|＋(|AB|2－4)＝0，这个方程的判别式Δ＝(－|→(AB)|)2－4(|→(AB)|2－4)＝16－|→(AB)|2≥0，∴－4≤|→(AB)|≤4，根据实际意义，知0<|→(AB)|≤4.
14．已经△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足→(AP)＝λ→(AB)，→(AQ)＝(1－λ)→(AC)，λ∈R，若→(BQ)·→(CP)＝－2(3)，则λ＝__________.
答案：2(1)
解析：→(AB)·→(AC)＝→(AB)·→(AC)cos3(π)＝2，→(BQ)＝→(AQ)－→(AB)＝(1－λ)→(AC)－→(AB)，
同理→(CP)＝λ→(AB)－→(AC)，则→(BQ)·→(CP)＝(1－λ)λ→(AC)·→(AB)－(1－λ)→(AC)2－λ→(AB)2＋→(AB)·→(AC)
＝2λ(1－λ)－4(1－λ)－4λ＋2＝－2λ2＋2λ－2＝－2(3)，解得λ＝2(1).
15．如图，在正方形ABCD中，已知AB＝2，M为BC的中点，若N为正方形内(含边界)任意一点，则→(AM)·→(AN)的最大值为__________．
答案：6
解析：以AB，AD所在的直线为坐标轴建立坐标系，则M(2,1)，A(0,0)，设N(x，y)，则0≤x≤2,0≤y≤2，因此→(AM)·→(AN)＝2x＋y，因此，当x＝2，y＝2时，有最大值6.
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．(12分)已知A、B、C三点的坐标分别为(－2，1)、(2，－1)、(0,1)，且→(CP)＝3→(CA)，→(CQ)＝2→(CB)，求点P、Q和向量→(PQ)的坐标．
解：因为A、B、C三点的坐标分别为(－2,1)、(2，－1)、(0,1)，所以→(CA)＝(－2,0)，→(CB)＝(2，－2)，所以→(CP)＝3→(CA)＝(－6,0)，→(CQ)＝2→(CB)＝(4，－4)，设P(x，y)，则有→(CP)＝(x，y－1)，所以y－1＝0，(x＝－6，)解得y＝1，(x＝－6，)即P点的坐标为(－6,1)，同理可得Q(4，－3)，因此向量→(PQ)＝(10，－4)．
17．(12分)已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.
(1)求a·b及|a＋b|的值；
(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?
解：(1)a·b＝|a||b|cos120°＝－16，
|a＋b|＝
＝
＝4.
(2)由题意，知(a＋2b)·(ka－b)＝ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，
即16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得k＝－7.
18．(12分)如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且→(OP)＝x→(OA)＋y→(OB).
(1)若→(AP)＝→(PB)，求x，y的值；
(2)若→(AP)＝3→(PB)，|→(OA)|＝4，|→(OB)|＝2，且→(OA)与→(OB)的夹角为60°，求→(OP)·→(AB)的值．
解析：(1)若→(AP)＝→(PB)，则→(OP)＝2(1)→(OA)＋2(1)→(OB)，
故x＝y＝2(1).
(2)若→(AP)＝3→(PB)，则→(OP)＝4(1)→(OA)＋4(3)→(OB)，
→(OP)·→(AB)＝→(OB)·(→(OB)－→(OA))
＝－4(1)→(OA)2－2(1)→(OA)·→(OB)＋4(3)→(OB)2
＝－4(1)×42－2(1)×4×2×cos60°＋4(3)×22
＝－3.
19．(12分)△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3→(OA)＋4→(OB)＋5→(OC)＝0.
(1)求数量积→(OA)·→(OB)，→(OB)·→(OC)，→(OC)·→(OA)；
(2)求△ABC的面积．
解析：(1)∵3→(OA)＋4→(OB)＋5→(OC)＝0.
∴3→(OA)＋4→(OB)＝0－5→(OC)，即(3→(OA)＋4→(OB))2＝(0－5→(OC))2.
可得9→(OA)2＋24→(OA)·→(OB)＋16→(OB)2＝25→(OC)2.
又∵|OA|＝|OB|＝|OC|＝1.∴→(OA)2＝→(OB)2＝→(OC)2＝1，∴→(OA)·→(OB)＝0.
同理→(OB)·→(OC)＝－5(4)，→(OC)·→(OA)＝－5(3).
(2)S△ABC＝S△OAB＋S△OBC＋S△OAC＝2(1)|→(OA)|·|→(OB)|·sin∠AOB＋2(1)|→(OB)|·|→(OC)|sin∠BOC＋2(1)|→(OC)|·|→(OA)|·sin∠AOC.
又|OA|＝|OB|＝|OC|＝1.
∴S△ABC＝2(1)(sin∠AOB＋sin∠BOC＋sin∠AOC)．
由(1)→(OA)·→(OB)＝|→(OA)|·|→(OB)|·cos∠AOB＝cos∠AOB＝0，得sin∠AOB＝1.
→(OB)·→(OC)＝|→(OB)|·|→(OC)|·cos∠BOC＝cos∠BOC＝－5(4)，
∴sin∠BOC＝5(3)，同理sin∠AOC＝5(4).∴S△ABC＝5(6).
20．(13分)以某市人民广场的中心为原点建立平面直角坐标系，x轴的正方向指向东，y轴的正方向指向北．一个单位长度表示实际路程100 m，一人步行从广场入口处A(2,0)出发，始终沿一个方向匀速前进，6 min时路过少年宫C,10 min后到达科技馆B(－3,5)．
(1)求此人的位移(说明此人行走的距离和方向)及此人行走的速度v(用坐标表示)；
(2)求少年宫C点相对于广场中心所在的位置．(参考数据：tan18°26′＝3(1))．
解析：(1)依题意知→(AB)＝(－3,5)－(2,0)＝(－5,5)，
|→(AB)|＝＝5，∠xAB＝135°.
∴此人沿北偏西45°方向走了500 m.
∵当t＝6(1) h时，此人所走的实际距离s＝|→(AB)|×100＝500(m)，
∴|v|＝t(s)＝3000 m/h
∴vx＝|v|cos135°＝－3000(m/h)，vy＝|v|sin135°＝3000(m/h)，
又一个单位长度表示实际路程100 m，
∴v＝(－30,30)．
(2)∵→(AC)＝10(6)→(AB)＝5(3)→(AB)，
→(OC)＝→(OA)＋→(AC)＝(2,0)＋5(3)(－5,5)＝(－1,3)，
∴|→(OC)|＝，又tan∠COy＝3(1)，∴∠COy＝18°26′.
即少年宫C位于距离广场中心100 m，且在北偏西18°26′处．
21．(14分)在平面直角坐标系中，已知三点A(4,0)，B(t,2)，C(6，t)，t∈R，O为坐标原点．
(1)若△ABC是直角三角形，求t的值；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，求|→(OD)|的最小值．
解析：(1)由题意得→(AB)＝(t－4,2)，→(AC)＝(2，t)，→(BC)＝(6－t，t－2)，
若∠A＝90°，则→(AB)·→(AC)＝0，即2(t－4)＋2t＝0，∴t＝2；
若∠B＝90°，则→(AB)·→(BC)＝0，即(t－4)(6－t)＋2(t－2)＝0，
∴t＝6±2；
若∠C＝90°，则→(AC)·→(BC)＝0，即2(6－t)＋t(t－2)＝0，无解，
∴满足条件的t的值为2或6±2.
(2)若四边形ABCD是平行四边形，则→(AD)＝→(BC)，设点D的坐标为(x，y)，
即(x－4，y)＝(6－t，t－2)，∴y＝t－2(x＝10－t)，即D(10－t，t－2)，
∴|→(OD)|＝＝，
∴当t＝6时，|→(OD)|取得最小值4.
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