第三章  三角恒等变换(数学苏教版必修4)

建议用时

实际用时

满分

实际得分

120分钟

 

150

 

一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分。把答案填在题中横线上)

1. △ABC中,若cos Bcos C-sin Bsin C≥0,则这个三角形一定不是            三角形(填“锐角”“直角”或“钝角”).

2. 若△ABC的内角A满足sin 2A= ,则sin A+cos A =       .

3. =              .

4. 若函数y=f(x=sin x+ cos x+2x∈[02π),且关于x的方程f(x=m有两个不等实数根,,则sin+=         .

5. 已知:-=tan=3mtan=3-m,则m =         .

6. 已知函数f(x)=cos(2x+)+sin 2x,则 f(x)的最小正周期为            .

7. 已知函数f(x)=acos2x-bsin xcos x-的最大值为,且f()= ,则f(-)=           .

8. 函数y=2sin x-cos 2x的值域是          .

9. -<<,- <,tantan是方程x2-3x+4=0的两个不等实根,则+的值为           .

10. =         .

11. 已知fcos x=cos 2x,则fsin x)的表达               

12. 函数y=lgsin x+cos x)的单调递减区间为            

13.函数f(x)=cos x-cos 2x(x∈R)的最大值等于            

14. 若f(x)是以5为周期的函数,f3=4,且      cos=,则f4cos2)=            .

二、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,共80分)

15. 12分)已知函数f(x=2cos2x+2 sin xcos x.

1)求函数f(x)定义在[-]上的值域.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)在△ABC中,若f C=22sin B=cosA-C)-cosA+C),求tan A的值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16.(12)已知0x<,化简:lg(costan x+1- 2sin2)+lg[2cos(x-)-lg(1+sin 2x).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17. (12) 已知向量 a =(cossin)b =(cossin)|a – b |= .

1)求cos-)的值;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)若0<,<0,且sin= ,求sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18. 12分)已知函数f(x=tan x,x∈(0).若x1,x2∈(0),x1≠x2,证明 [f(x1+        f(x2]f().

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19. 16分)已知为第二象限的角sin=为第一象限的角,cos=.求tan2-)的值.

 

 

 

 

 

 

 

20.(16)已知-<x0sin x+cos x=.

1求sin x-cos x的值;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)求的值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

第三章  三角恒等变换(数学苏教版必修4)

答题纸

                       得分:         

一、填空题

1.             2.            3.             4.             5.            6.          

7.             8.            9.             10.            11.           12.         

13.             14.            

二、解答题

15.

 

 

 

 

16.

 

 

 

17.

 

 

 

 

 

18.

 

 

 

 

 

 

19.

 

 

 

 

 

20.

 

 

 

 

 

 

 

第三章  三角恒等变换(数学苏教版必修4)

答案

一、填空题

1. 锐角  △ABC中,若cos Bcos C-sin Bsin C≥0,则有 cosB+C≥0,故B+C为锐角或直角,故角A为钝角或直角,从而可得此三角形为钝角三角形或直角三角形,故一定不是锐角三角形.

2.   sin 2A=2sin Acos A0,可知A为锐角,
所以sin A+cos A0.(sin A+cos A)2=1+sin 2A=,所以sin A+cos A=

3.  解析: =

= =sin30°=

4.  解析:函数y=f(x=sin x+  cos x+2=2sin x+ cos x +2=2sinx+)+2

再由x∈[02π)可得 ≤x+2π+,故-1sinx+1,故0f(x4

由题意可得  2sinx+)+2=m有两个不等实数根,,

且这两个实数根关于直线x+=或直线 x+=对称,

故有=,或 =,故 +=+=

sin+=

5.   解析:∵-=,∴tan=tan = .

tan=3mtan=3-mtan== =3m-3-m),

∴(3m-3-m= ,即3m-3-m=,整理得:(3m2-3m-1=0

解得:3m=,∴3m= 3m=- (舍去),则m=

6. π  解析:函数f(x)=cos(2x+)+sin2x=cos 2xcos-sin 2xsin =- sin 2x+,

所以函数f(x)的最小正周期是T==π.

7. 0–   解析:∵函数f(x)=acos2x-bsin xcos x-=a•  -b•sin 2x- =•cos 2x-b•sin 2x.

它的最大值为 =,故有a2+b2=1. ①

再由f()= 可得-a- b=,即 a+b=-   ②

①②解得

∴f(- )= -a+ b =- ,或 f(- )= -a+ b =0

8. [3]  解析:由题意可得:y=2sin x-cos 2x=2sin2x+2sin x-1=2(sin x+)2

sin x∈[-11]

sin x=-时,函数f(x)取到最小值为,

sin x=1时,函数f(x)取到最大值为3

综上函数f(x)的值域是[3]

9.   解析:tantan是方程x2-3x+4=0的两个不等实根,

∴有tan+tan=3,①

tan•tan=4,②

tan+= = =-.

∵<<,<<,

②知两个角是在同一个象限,由①知两个角的正切值都是正数,

0<,0<,0+π,∴+=.

10. 2  解析:原式==

===2.

11. fsin x=-cos 2x   解析:cos 2x=2cos2x-1

∴fcos x=cos 2x=2cos2x-1

∴fsin x=2sin2x-1=-1-2sin2x=-cos 2x.

故答案为fsin x=-cos 2x.

12. [ +2kπ, +2kπ)   解析:由题意,令m=sin x+cos x=  sinx+),

由m0得,2kπ<x+ π+2kπ,解得- +2kπ<x +2kπ,

∴函数的定义域是( +2kπ, +2kπ).

∵y=lg x在定义域内是增函数,

∴原函数的单调递减区间是y=sinx+ )的递减区间,

∴ +2kπ≤x+ ≤ +2kπ,解得 +2kπ≤x≤+2kπ,

∴所求的单调递减区间是[ +2kπ,+2kπ).

13.    解析: f(x=cosx-cos2x=cosx-2cos2x-1=-cos2x+cosx+=-(cosx-)2+, 

所以f(x)的最大值为.

14.4   解析:4cos2=42cos2-1=-2,∴ f4cos2=f(-2=f(-2+5=f3=4

二、解答题

15. 解:1f(x=1+cos 2x+  sin 2x=2sin2x+)+1.

∵-≤x≤, ∴- ≤2x+ ≤.

∴- ≤sin(2x+ )1.

∴f(x[03],即f(x)的值域为[03].

2)由f(C=22sin2C+ +1=2,∴sin2C+ =

0Cπ∴ <2C+ .

2C+= C= A+B=

又∵2sin B=cosA-C)-cosA+C),2sin B=2sin Asin C,

2sin( -A)= sin A,即 cos A+sin A= sin A,

( -1)sin A= cos Atan A= =

16. 0<x<,

∴ 原式=lg(cos x·+cos x)+lg(cos x+ sin x)-lg(1+sin 2x)

=lg(sin x+cos x)+lg(cos x+sin x)-lg(1+sin 2x)

=lg(sin x+cos x)2-lg(1+sin 2x)

=lg(1+sin 2x)-lg(1+sin 2x)=0.

17. 1)∵ a =(cossin)b =(cossin)

a – b =(cos-cos sin-sin)

| a – b |=

∴  = 即2-2cos(-)=

cos(-)=

2)∵0 – 0, ∴0-<π.

cos(-)= ,∴sin(-)=

sin=- cos=

sin=sin[-)+]

=sincos +cossin

= ×  ×(- )= .

18. 证明tan  x1+tan  x2=+= 

==. 

∵x1,x2∈(0),x1≠x2

2sinx1+x2)>0cosx1cosx20且0cosx1-x2)<1

从而有0cosx1+x2+cosx1-x2)<1+cosx1+x2),

由此得tan x1+tan x2tan x1+tan x2)>tan,

即 [f(x1+f(x2]f().

19. ∵为第二象限角sin=,∴cos=- tan=- tan2=-

又∵为第一象限角cos=,∴sin=tan=

tan2= ==.

20.1由sin x+cos x=,得

sin2x+2sin xcos x+cos2x=,即2sin xcos x=-.

∴ (sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=.

又∵ -<x0,∴ sin x0cos x0sin x-cos x0

故sin x-cos x=-.

2=

=sin xcos x2-cos x-sin x=×(2=-.

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