2.1 合情推理与演绎推理
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一、选择题(每小题5分,共20分)
1.下列推理是归纳推理的是( )
A.A,B为定点,动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,则P点的轨迹为椭圆
B.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C.由圆x2+y2=r2的面积πr2,猜想出椭圆x2a2+y2b2=1的面积S=πab
D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
2.设n为正整数,f(n)=1+12+13+…+1n,经计算得f(2)=32,f(4)>2,f(8)>52,f(16)>3,f(32)>72,观察上述结果,可推测出一般结论( )
A.f(2n)>2n+12 B.f(n2)≥n+22 C.f(2n)≥n+22 D.以上都不对
3. 有一段演绎推理是这样的:“若直线平行于平面,则该直线平行于平面内所有直线;已知直线b∥平面α,直线a⊂平面α,则直线b∥直线a”,结论显然是错误的,这是因为( )
A.大前提错误 B.小前提错误
C.推理形式错误 D.非以上错误
4. 若点P是正四面体A-BCD的面BCD上一点,且P到另三个面的距离分别为h1,h2,h3,正四面体A-BCD的高为h,则( )
A.h>h1+h2+h3 B.h=h1+h2+h3 C.h
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.把正有理数排序:11,21,12,31,22,13,41,32,23,14,…,则数19891949所在的位置序号是________.
6.观察下列等式:13+23=(1+2)2,13+23+33=(1+2+3)2,13+23+33+43=(1+2+3+4)2,…,根据上述规律,第四个等式为________.
三、解答题(共70分)
7.(15分)通过观察下列等式,猜想出一个一般性的结论,并证明结论的真假。
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8.(20分)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂
巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂
巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢,第二个图
有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,以
表示第幅图的蜂巢总数.则=_____;=___________.
9.(20分) 在中,若,则,用类比的方法,猜想三棱锥的类似性质,并证明你的猜想.
10.(15分)对于一元二次方程,有以下正确命题:如果系数和都是非零实数,方程和在复数集上的解集分别是和,则“”是“”的充分必要条件.
试对两个一元二次不等式的解集写出类似的结果,并加以证明.
2.1 合情推理与演绎推理 答题纸
得分:
一、选择题
题号 |
1 |
2 |
3 |
4 |
答案 |
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二、填空题
5. 6.
三、解答题
7.
8.
9.
10.
2.1 合情推理与演绎推理 答案
一、选择题
1.B 解析:从S1,S2,S3猜想出数列的前n项和Sn,是从特殊到一般的推理,所以B是归纳推理,故应选B.
2.C 解析:f(2)=32,f(4)=f(22)>2+22,f(8)=f(23)>3+22,f(16)=f(24)>4+22,f(32)=f(25)>5+22. 由此可推知f(2n)≥n+22.故选C.
3.A 解析:由演绎推理的三段论可知答案应为A.
4.B 解析:由点P是正三角形ABC的边BC上一点,且P到另两边的距离分别为h1,h2,正三角形ABC的高为h,由面积相等可以得到h=h1+h2.于是,采用类比方法,平面上的面积类比空间中的体积,可得答案为B.
二、填空题
5.7749965 解析:从所给有理数的排序规律可以发现,它们是由分子与分母的和依次为2,3,4,…的分数段“拼”成的.因为分数19891949的分子、分母和为3938,所以归纳推理可知,它是第3937段的第1949个数. 故序号为(1+2+…+3936)+1949=7749965.
6.13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2(或152)解析:观察前3个等式发现等式左边分别是从1开始的两个数、三个数、四个数的立方和,等式右边分别是这几个数的和的平方,因此可得第四个等式是:13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2=152.
三、计算题
7.证明:左边=
==右边
8.解:
.
9. 解:由平面类比到空间,有如下猜想:“在三棱锥中,三个侧面两两垂直,且与底面所成的角分别为,则”
证明:设在平面的射影为,延长交于,记
由得,从而,又
,,
即
10. 解:(3)如果系数和都是非零实数,不等式和的解集分别是和,则“”是“”的既不充分也不必要条件.可以举反例加以说明.