江苏省姜堰、如东县2020届高三数学考前适应性试题（Word版附答案）
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高三数学模拟考试试卷
数 学 Ⅰ
参考公式：
样本数据 的方差 ，其中 ．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1． 已知集合 ， ，则集合 = ▲ ．
2． 已知复数 （i为虚数单位），则复数z的模为 ▲ .
3． 现有5位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录
如下：10，11，12，13，14，则康复时间的方差为 ▲ .
4． 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，则最后输出的 的值
是 ▲ ．
5． 一张方桌有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个
位置上，则A与B相对而坐的概率为 ▲ ．
6． 已知向量 在正方形网格中的位置如图所示．若 ，则
的值为 ▲ ．
7． 将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得函数为偶函数，则 的最小
正值是 ▲ ．
8． 已知 是等比数列， 是其前 项和．若 ， ，则 的值为 ▲ ．
9． 过双曲线 的右焦点F作渐近线的垂线，垂足为P．若△POF的面积为 ，则该双曲线的离心率为 ▲ ．
10．已知直线 经过点 ，则 的最小值是 ▲ ．
11．过年了，小张准备去探望奶奶，到商店买了一盒点心．为了美观起见，售货员用彩绳
对点心盒做了一个捆扎（如图（1）所示），并在角上配了一个花结．彩绳与长方体点心
盒均相交于棱的四等分点处．设这种捆扎方法所用绳长为l1，一般的十字捆扎（如图（2）
所示）所用绳长为l2．若点心盒的长、宽、高之比为2:2:1，则 的值为 ▲ ．
12．已知函数 ，则不等 式的解集是 ．
13．已知A(x1，y1)、B(x2，y2)为圆M： 上的两点，且 ，设 为弦AB的中点，则 的最小值为 ▲ ．
14．已知等边 的边长为1，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且 ．若AD=x，CE=y，则 的取值范围为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．
15．（本小题满分14分）
在 中，角 所对的边分别为a，b，c， ．
（1）若 面积为 ，求ab的值；
（2）若 ，求 ．
16．（本小题满分14分）
如图，已知EA和DC都垂直于平面ABC，AB=AC＝BC=AE=2CD，F是BE的中点．
（1）若G为AF中点，求证：CG∥平面BDE；
（2）求证：AF⊥平面BDE．
17．（本小题满分14分）
如图，某度假村有一块边长为4百米的正方形生态休闲园ABCD，其内有一以正方形中心O为圆心， 百米为半径的圆形观景湖．现规划修建一条从边AB上点P出发，穿过生态园且与观景湖相切的观赏道PQ（其中Q在边AD上）．
（1）设 ，求观赏道PQ的长l关于 的函数关系式 ；
（2）试问如何规划设计，可使观赏道PQ的长l最短？
18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 的离心率为 ，点
在椭圆上．若直线 与椭圆有且只有一个公共点 ，且 与直线 相交于 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）当直线 的斜率为 时，求直线 的方程；
（3）点T是x轴上一点，若总有 ，
求T点坐标．
19．（本小题满分16分）
设数列{an}的前n项和为Sn，且满足 ， ， ．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记 ， ．
① 求Tn；
② 求证： ．
20．（本小题满分16分）
已知函数 ， ．
（1）若函数f(x)与g(x)在 上均单调递减，求实数a的取值范围；
（2）当 （其中e为自然对数的底数）时，记函数 的最小值为m．
求证： ；
（3）记 ，若函数h(x)有两个不同零点，求实数a的取值范围．
高三数学模拟考试试卷
数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知 ，矩阵 的特征值 所对应的一个特征向量为 ．
（1）求矩阵 ；
（2）若曲线 ： 在矩阵 对应的变换作用下得到另一曲线 ，
求曲线 的方程．
B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程为 （t为参数）．在以坐标原
点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 ，求直线 被
曲线截得的弦长．
C．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知x，y，z是正实数，且 ，求证： ．
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出
文字说明、证明过程或演算步骤．
22．(本小题满分10分)
如图，在平面直角坐标系xOy中， 已知点A（0，1），点B在直线 上，点T满足
∥ ， ，T点的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点P 的直线交曲线C于点 ，分别过M，N作直线 的垂线，垂足
分别为 ．
① 若 ，求实数 的值；
② 点 关于 轴的对称点为 （与 不重合），求证：直线 过一定点，并求出
这个定点的坐标．
23．(本小题满分10分)
已知数列 满足： ．
（1）证明： ；
（2）证明： ．
高三数学模拟考试参考答案及评分细则
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1． ； 2． ； 3． 2； 4． 17；
5． ； 6． 0； 7． ； 8． ；
9． ； 10． 32； 11． ； 12． ；
13． ； 14． ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．
15．【解】（1）因为 ，
在 中，由正弦定理 ，
得 ，化简得 ， ……3分
在 中，由余弦定理得， ， ……4分
因为 ，所以 ，
又 面积为 ，可得 ，所以 . ……7分
（2）因为 ,
在 中，由正弦定理 ,所以
因为 ，所以 ……9分
由（1）得 ，所以 ，
化简得 ，所以 . ……11分
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 . ……14分
16．（本小题满分14分）
证明：（1）取EF中点Q，连结GQ，
因为G为AF中点，
所以GQ∥AE，且 . ……2分
因为EA和DC都垂直于平面ABC，
所以CD∥AE，又AE=2CD，
所以GQ∥CD，且 .
所以四边形CDQG为平行四边形，
所以CG∥DQ， ……4分
又 平面BDE， 平面BDE，
所以CG∥平面BDE． ……6分
（2）取AB中点P，连结FP，CP，
因为F是BE的中点，
所以FP∥AE，且 .
因为EA和DC都垂直于平面ABC，
所以CD∥AE.
又AE=2CD，所以CD∥PF，且CD=PF，
所以四边形CDFP是平行四边形.
所以CP∥DF. ……8分
因为AC＝BC，P为AB中点，
所以CP⊥AB，所以DF⊥AB.
因为EA垂直于平面ABC， 平面ABC，
所以CP⊥AE，所以DF⊥AE. ……10分
因为 ， 平面ABE，
所以DF⊥平面ABE. 因为 平面ABE，
所以DF⊥AF. ……12分
因为AB=AE，F是BE的中点，
所以AF⊥BE.
因为 ， 平面BDE，
所以AF⊥平面BDE. ……14分
17．（本小题满分14分）
解：（1）以点A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则 ， ， ，
所以直线PQ的方程为 ，
即 . ……3分
因为直线PQ与圆O相切，
所以圆心到直线PQ的距离为 ，
化简得 ， ……5分
解得 ，
， . ……7分
（2）因为 ，
湖南省永州市2020届高三数学（文）第三次模拟试卷（Word版带答案）
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则 ，……9分
因为 ，所以 ，
所以
令 ，得 ， ……11分
则 时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，
所以 时， 取得最小值为 百米.
答：设计成 时，可使观赏道PQ的长l最短. ……14分
18．（本小题满分16分）
【解】（1）设椭圆的焦距为2c，
由题意，得
解得 所以椭圆的方程为 ． ……3分
（2）由题意，设直线 的方程为 ，
联立方程组 得 ，
因为直线 与椭圆有且只有一个公共点，
所以 解得 ，
所以直线l的方程为 ． ……6分
（3）当直线 的斜率不存在时， 与直线 无交点，不符合题意，
故直线 的斜率一定存在，设其方程为y=kx+m，
由 得 ，
因为直线l与椭圆有且只有一个公共点，
所以 ，
化简得： ， ……8分
所以 ，即 ，
因为直线 与直线 相交于 ，所以 ，……10分
设 ，
所以 ，
即 对任意的k,m恒成立， ……14分
所以 ，即 ，
所以点 坐标为 . ……16分
19．（本小题满分16分）
解：（1）因为 ，
所以 时， ，即 .
因为 时， ，
即 .
n=1时也适合该式.
所以 时， ，
，
两式相减得 ，
则 ，
两式相减得 .
所以 ，
所以 .
所以数列{an}为等差数列.
因为 ， ，所以公差 ，
所以 . ……4分
（2）①因为an =n，
所以
， ……6分
所以 ，……8分
②要证 ，只要证 ，
只要证 ，即证 .……10分
设 ，x>1，令 ，
则 ， ……12分
易证 ，故 在 上恒成立.
所以 在 上单调递增，
因为 ，所以 .
所以所证不等式成立. ……16分
20．（本小题满分16分）
【解】（1）因为函数 在 上单调递减，
所以 解得 .
因为 在 上单调递减，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立. ……2分
令 ，则 ，令 ，得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以 ，所以 .
故实数a的取值范围为 . ……4分
（2）因为 ，所以 .
当 时， ，
所以 恒成立，
所以 在（0，+∞）上单调递增.
因为 ，
所以 ，使得 .，即 .
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
从而 . ……8分
令 ，则 .
所以 在 单调递减，
因此 ， .
所以 . ……10分
（3） 因为 ， ，
所以 ，
即 .
所以 ，
当 时， 在 上恒成立，则h(x)在 上单调递减，
故h(x)不可能有两个不同的零点. ……12分
当 时， ，令 ，
则函数 与函数 零点相同.
因为 ，令 ，
则 在 上恒成立，因为 ，则
x
1
– 0 +
递减 极小值 递增
所以 的极小值为 ，
所以要使 由两个不同零点，则必须 ，
所以a的取值范围为 . ……14分
因为 ， ，又 在 内连续且单调，
所以 在 内有唯一零点.
又 ，且 ，
又 在 内连续且单调，所以 在 内有唯一零点.
所以满足条件的a的取值范围为 . ……16分
21．【选做题】
A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
【解】（1）因为 是矩阵 的特征值 所对应的一个特征向量，
所以 ，即 ，
所以 解得
所以矩阵 ……4分
（2）设曲线 上任一点 在矩阵 的作用下得到曲线 上一点 ，
则 ，
所以 解得
因为 ，
所以 ，即曲线 的方程为 ． ……10分
B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
【解】曲线的直角坐标方程为 ， ……3分
即 ，圆心 ，半径 ，
直线 的普通方程为 ， ……6分
所以圆心 到直线 的距离 ，
所以直线 被曲线 截得的线段长度 ．……10分
C．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知x，y，z是正实数，且 ，求证： ．
证明：由柯西不等式得 ………… 6分
因为 ， 所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号．…………………… 10分
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出
文字说明、证明过程或演算步骤．
22．(本小题满分10分)
解:（1）设T的坐标为 ，则B为 ，
因为 A（0，1），所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
即 ，所以曲线C的方程为 ……4分
（2）法一：由题意，直线 的斜率必存在，设为
则直线 的方程为： ，
由 可得：
设 ，
则
①因为 ，所以
因为
所以 ，所以
解得： ……6分
②因为点 关于y轴的对称点为 ，所以
所以
所以直线 的方程为：
令 得：
所以直线 过定点，定点坐标为 ……10分
（2）法二：设 ，
因为 三点共线，所以 ，
所以 ，化简得：
因为 ，所以
①由题意： ，所以
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，解得： ……6分
②因为点 关于y轴的对称点为 ，所以
所以 ，
所以直线 的方程为：
令 得：
所以直线 过定点，定点坐标为 ……10分
23．(本小题满分10分)
【解析】（1）证明：
． ……3分
（2）用数学归纳法证明．
① 当 时，左边 =右边；
当 时，由（1）得左边 =右边；
② 设当 时，结论成立，即有 ， ……5分
则当 时，
由（1）得 ，
所以 ， ……8分
所以
所以 时结论成立．
由①②可知原不等式成立． ……10分
江苏省南通市2020届高三数学考前练习试题（含附加题Word版附答案）
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