2020年中考数学十大题型专练10二次函数的综合应用题（含解析）
2020年中考数学十大题型专练10二次函数的综合应用题（含解析）,中考数学题型专练,莲山课件.
题型09 几何类比、拓展、探究题
一、解答题
1．如图1， （ ）绕点 顺时针旋转得 ，射线 交射线 于点 ．
（1） 与 的关系是 ；
（2）如图2，当旋转角为60°时，点 ，点 与线段 的中点 恰好在同一直线上，延长 至点 ，使 ，连接 ．
① 与 的关系是 ，请说明理由；
②如图3，连接 ，若 ， ，求线段 的长度．
【答案】（1） ；（2）① 或 ，理由见解析；②
【分析】（1）如图1， 与 的交点记作点 ，由旋转的性质与三角形内角和定理得到 ，即可求解；
（2）①如图2，连接 ，由旋转的性质及全等三角形的性质得到 ∽ ，故 ，即可证明 ≌ ，再得到 ，即可得到结论；
②由①得 ， ，由角度的关系得到 ，
再 证明 ，再利用等腰三角形的性质得到 ，再利用直角三角形三角函数求出 ，即可求出AE的长.
【详解】解：（1）如图1，
与 的交点记作点 ，由旋转知， ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）① 或 ，
理由：如图2，连接 ，由旋转知， ， ， ，
∴ 是等边三角形，∴ ，
∵ ，
∴ ∽ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ≌ （ ），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
故答案为： 或 ；
②由①知， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
由①知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
在 中，
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， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等腰三角形、直角三角形、相似三角形的判定与性质及三角函数进行求解.
2．（问题）
如图1，在 中， ，过点 作直线 平行于 ． ，点 在直线 上移动，角的一边 始终经过点 ，另一边 与 交于点 ，研究 和 的数量关系．
（探究发现）
（1）如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点 移动到使点 与点 重合时，通过推理就可以得到 ，请写出证明过程；
（数学思考）
（2）如图3，若点 是 上的任意一点（不含端点 ），受（1）的启发，这个小组过点 作 交 于点 ，就可以证明 ，请完成证明过程；
（拓展引申）
（3）如图4，在（1）的条件下， 是 边上任意一点（不含端点 ）， 是射线 上一点，且 ，连接 与 交于点 ，这个数学兴趣小组经过多次取 点反复进行实验，发现点 在某一位置时 的值最大．若 ，请你直接写出 的最大值．
【答案】【探究发现】（1）见解析；【数学思考】（2）见解析；【拓展引申】（3） 时， 有最大值为2．
【分析】根据等腰三角形的性质及平行的定义即可解得
根据证明 即可推出
过点 作 交 于点 ，连接 ，可证明 ，再推出 即可得 = ，则 .
【详解】证明：【探究发现】
（1）∵
∴
∵
∴ ，且
∴
∴
即
【数学思考】
（2）∵
∴
∴ ，
∵
∴ ，且 ，
∴
∴
【拓展引申】
（3）如图4，过点 作 交 于点 ，连接 ，
∵ ，
∴
∵
∴
∴
∴ ，且
∴
∴
∵ ，
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴点 ，点 ，点 ，点 四点共圆，
∴
∴ ，且
∴
∴
∴
∴
∴ 时， 有最大值为2．
【点睛】本题考查等腰三角形，解题关键在于熟练掌握等腰三角形的性质.
3．小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．
(1)温故：如图 1，在△ABC中，AD⊥BC 于点D，正方形PQMN 的边QM在BC上，顶点P ，N 分别在AB， AC上，若BC=6 ，AD=4，求正方形 PQMN的边长．
(2)操作：能画出这类正方形吗?小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图 2，任意画△ABC，在AB上任取一点P′，画正方形 P′Q′M′N′ ，使Q′,M′在BC边上， N′在△ABC 内，连结B N′ 并延长交AC 于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM 交AB于点P，PQ⊥BC 于点Q，得到四边形 PQMN．小波把线段BN 称为“波利亚线”．
(3)推理：证明图2 中的四边形 PQMN 是正方形．
(4)拓展：在(2)的条件下，于波利业线B N 上截取NE=NM ，连结EQ ，EM(如图 3)．当tan∠NBM= 时，猜想∠QEM的度数，并尝试证明．
请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．
【答案】（1）温故： ；（3）推理：四边形PQMN为正方形.见解析；（4）拓展：猜想 ，理由见解析.
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