2020中考数学热点专练06不等式与不等式组（含解析）
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热点05 一元二次方程
【命题趋势】
1．用直接开平方法、配方法、公式法或因式分解法解一元二次方程．
2．一元二次方程根的判别式，有两种考查方式：①给出一元二次方程，求方程的根的情况；②给出带有参数的一元二次方程和根的情况，求参数的取值范围．
3．一元二次方程的根与系数的关系，主要考查方式：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根；②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数；③不解方程求关于根的式子的值，如求 等等；④判断两根的符号．⑤求作新方程；⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．
4．列一元二次方程解决实际问题，以实际生活为背景，命题比较广泛（常见的题型是增长率问题）．
【满分技巧】
一、一元二次方程根的情况
1．一元二次方程有实数根的前提是b2－4ac≥0．
利用一元二次方程根的判别式（ =b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与 =b2﹣4ac有如下关系：
①当 >0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当 =0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当 <0> 2．一元二次方程根与系数的特点：
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q，反过来可得p=﹣（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2= ，x1x2= ，反过来也成立，即 =﹣（x1+x2）， =x1x2．
二、一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用题的“六字诀”:
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
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一、选择题
1．（天津市滨海区2019届九年级中考二模数学试卷）一元二次方程 的根为
A． B．
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】∵ ，
∴x（x+1）=0，
即x=0或x+1=0，
解得：x=0或x=–1．
故选D．
2． （2019•河南）一元二次方程（x+1）（x–1）=2x+3的根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【解析】原方程可化为：x2–2x–4=0，∴a=1，b=–2，c=–4，∴△=（–2）2–4×1×（–4）=20＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．故选A．
3．（山东省济南历下区2019届九年级第三次模拟考试数学试题）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1=0有实数根，则m的取值范围是
A．m≤2 B．m≥2 C．m≤2且m≠1 D．m≥﹣2且m≠1
【答案】C
【解析】∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1=0有实数根，
∴ ，
解得：m≤2且m≠1．故选C．
4．（2019•广东）已知x1，x2是一元二次方程x2–2x=0的两个实数根，下列结论错误的是
A．x1≠x2 B．x12–2×1=0
C．x1+x2=2 D．x1•x2=2
【答案】D
【解析】∵Δ=（–2）2–4×1×0=4＞0，∴x1≠x2，选项A不符合题意；
∵x1是一元二次方程x2–2x=0的实数根，∴x12–2×1=0，选项B不符合题意；
∵x1，x2是一元二次方程x2–2x=0的两个实数根，∴x1+x2=2，x1•x2=0，选项C不符合题意，选项D符合题意．故选D．
5．（2019年广西梧州市中考数学二模试卷）一元二次方程2×2﹣5x﹣4=0根的情况是
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判定该方程根的情况
【答案】A
【解析】 =（﹣5）2﹣4×2×（﹣4）=57>0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选A．
6．（2019•河北）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，只抄对了a=1，b=4，解出其中一个根是x=–1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2，则原方程的根的情况是
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个根是x=–1 D．有两个相等的实数根
【答案】A
【解析】∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，只抄对了a=1，b=4，
解出其中一个根是x=–1，
∴（–1）2–4+c=0，解得：c=3，故原方程中c=5，则b2–4ac=16–4×1×5=–4<0> 7．（2019•广西）扬帆中学有一块长30 m，宽20 m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为x m，则可列方程为
A．（30–x）（20–x）= ×20×30 B．（30–2x）（20–x）= ×20×30
C．30x+2×20x= ×20×30 D．（30–2x）（20–x）= ×20×30
【答案】D
【解析】设花带的宽度为x m，则可列方程为（30–2x）（20–x）= ×20×30，故选D．
8．（江苏省苏州市部分学校中考2019年5月份数学模拟试卷）若a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+1=0的两根，且等腰三角形三边长分别为a、b、4，则n的值为
A．8 B．7 C．8或7 D．9或8
【答案】C
【解析】∵等腰三角形三边长分别为a、b、4，
∴a=b，或a、b中有一个数为4．
当a=b时，有b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4（n+1）=0，
解得：n=8；
当a、b中有一个数为4时，有42﹣6×4+n+1=0，
解得：n=7，
故选C．
9．（安徽省池州市贵池区2019年中考数学三模试卷）据池州市统计局发布，2018年我市全年生产总值684.9亿元，比上年增长5.7%，若今、明两年年增长率保持不变，则2020年全年生产总值为
A．（1+5.7%×2）×684.9亿元
B．（1+5.7%）2×684.9亿元
C．2×（1+5.7%）×684.9亿元
D．2×5.7%（1+5.7%）×684.9亿元
【答案】B
【解析】∵2018年我市全年生产总值684.9亿元，比上年增长5.7%，且今、明两年年增长率保持不变，
∴2020年的生产总值为（1+5.7%）2×684.9亿元，
故选B．
10．（2019年天津市南开区九年级第二学期基础训练数学试题）某校羽毛球队有若干名队员，任意两名队员之间进行一场友谊赛，共进行了36场比赛．如果全队有 名队员，根据题意下列方程正确的是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设有x名队员，
2020中考数学热点专练07一次函数（含解析）
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每个队员都要赛（x–1）场，但两人之间只有一场比赛，
故 ，
故选C．
二、填空题
11．（2019年浙江省绍兴市越城区中考数学一模试卷）一元二次方程x（x+5）=x+5的解为__________．
【答案】x1=﹣5，x2=1
【解析】方程整理得：x（x+5）﹣（x+5）=0，
分解因式得：（x+5）（x﹣1）=0，
解得：x1=﹣5，x2=1，
故答案为：x1=﹣5，x2=1．
12．（河南省安阳市2019届九年级中考一模数学试题）一元二次方程x2+2x﹣4=0的解是__________．
【答案】
【解析】∵x2+2x=4，
∴x2+2x+1=4+1，即（x+1）2=5，
则x+1= ，
即x=﹣1 ，
故答案为：﹣1 ．
13．（2019年山东省潍坊市中考数学一模试卷）已知关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k﹣1=0的两实数根互为相反数，则k=__________．
【答案】﹣2
【解析】设方程的两根分别为x1，x2，
∵x2+（k2﹣4）x+k﹣1=0的两实数根互为相反数，
∴x1+x2，=﹣（k2﹣4）=0，解得k=±2，
当k=2，方程变为：x2+1=0， =﹣4<0 k=2舍去；> 当k=﹣2，方程变为：x2﹣3=0， =12>0，方程有两个不相等的实数根；
∴k=﹣2．
故答案为：﹣2．
14．（山东省德州市齐河县2019年中考数学二模试卷）若x1，x2分别是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个实数根，则 的值是__________．
【答案】2
【解析】∵x1，x2分别是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个实数根，
∴x1+x2=﹣2，x1x2=﹣1，
∴ =2．
故答案为：2．
15．（江苏省南京市高淳区2019年中考二模数学试卷）已知关于x的方程x2+mx－3=0的两个根为x1、x2，若x1+x2=2x1x2，则m=__________．
【答案】6
【解析】∵x1，x2是方程x2+mx−3=0的两根，
∴x1+x2=–m，x1•x2=–3，
则–m=2×（–3），解得：m=6，
故答案为：6．
16．（黑龙江省哈尔滨市平房区2019届中考第三次模拟考试数学试题）某商品每件 元，经过两次降价后，售价为 元，若每次降价的百分比相同，则第一次降价后的售价为每件__________元．
【答案】
【解析】设每次降价的百分率为x，根据题意得：300（1–x） =243，
解得：x =0.1=10%，x =1.9（不合题意，舍去）．
每次降价的百分率为10%．
∴第一次降价后的售价为300–（300×0.1）=270（元），
故答案为：270．
三、解答题
17．（江苏省南京市高淳区第一中学2019届中考三模数学试题）解下列一元二次方程：
（1）x2﹣4x﹣5=0；
（2）（x﹣3）2=2（x﹣3）．
【解析】（1）x2﹣4x﹣5=0，
x2−4x=5，
则x2−4x+4=5+4，即（x−2）2=9，
所以x1=5，x2=﹣1．
（2）（x﹣3）2﹣2（x﹣3）=0，
（x﹣3）（x﹣3﹣2）=0，
x﹣3=0或x﹣3﹣2=0，
所以x1=3，x2=5．
18．（2019•十堰）已知于x的元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求a的取值范围；[
（2）若x12+x22﹣x1x2≤30，且a为整数，求a的值．
【解析】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2，
∴ ＞0，即（﹣6）2﹣4（2a+5）＞0，解得a＜2．
（2）由根与系数的关系知：x1+x2＝6，x1x2＝2a+5，
∵x1，x2满足x12+x22﹣x1x2≤30，∴（x1+x2）2﹣3x1x2≤30，
∴36﹣3（2a+5）≤30，∴a≥﹣ ，
∵a为整数，∴a的值为﹣1，0，1．
19．（河北省保定市高阳县宏润中学2019届九年级上学期期末调研考数学试题）对于实数m、n，定义一种运算“※”为：m※n=mn+n．
（1）求2※5与2※（﹣5）的值；
（2）如果关于x的方程x※（a※x）=﹣ 有两个相等的实数根，求实数a的值．
【解析】（1）2※5=2×5+5=15．
2※（﹣5）=2×（﹣5）+（﹣5）=﹣15．
（2）x※（a※x）=x※[（a+1）x]=x（x+1）（a+1）=﹣ ，
整理得：4（a+1）x2+4（a+1）x+1=0．
∵关于x的方程x※（a※x）=﹣ 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴a=0．
20．（2019•南京）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？
【解析】设扩充后广场的长为3xm，宽为2xm，
依题意得：3x•2x•100+30（3x•2x–50×40）=642000，
解得x1=30，x2=–30（舍去）．
所以3x=90，2x=60．
答：扩充后广场的长为90m，宽为60m．
21．（2019•山东德州）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
【解析】（1）设进馆人次的月平均增长率为x，
根据题意得：128+128（1+x）+128（1+x）2=608，
化简得：4×2+12x﹣7=0，
∴（2x﹣1）（2x+7）=0，
∴x=0.5=50%或x=﹣3.5（舍）．
答：进馆人次的月平均增长率为50%．
（2）∵进馆人次的月平均增长率为50%，
∴第四个月的进馆人次为：128（1+50%）3=128× =432<500> 答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
2020中考数学热点专练08反比例函数（含解析）
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